Para $\det(A)=0$, ¿cómo sabemos si $A x = b$ no tiene solución o tiene infinitas soluciones?

Question

Dado un sistema lineal de ecuaciones $A\vec x = \vec b$, si el determinante $\det(A)$ es $0$, ¿cómo sabemos si el sistema no tiene soluciones o tiene infinitas soluciones?

Dos subpreguntas:

a) Usando la Regla de Cramer, el determinante de $A$ siendo cero significa que surge una situación de "División por cero". Entonces, es comprensible que no haya solución ya que la división por cero no está definida. Pero me confunde cómo, entonces, en cualquier circunstancia, el sistema puede tener soluciones en absoluto, ya que la fórmula en la Regla de Cramer no está definida. ¿Hay una explicación intuitiva e esclarecedora?

b) Dado que $\det(A) = 0$, ¿estoy en lo correcto al pensar que hay infinitas soluciones si y solo si el sistema de ecuaciones es homogéneo, es decir, $\vec b = \vec 0$? Por favor explique por qué o por qué no.

Answer 1

Para cualquier sistema lineal cuadrado $\,A\vec x=\vec b\,$ sobre algún campo, existe una solución única si y solo si $\,\det A\neq 0\,$, ya que entonces podemos usar la matriz inversa:

$$A\vec x=\vec b\Longleftrightarrow A^{-1}A\vec x=A^{-1}\vec b\Longleftrightarrow A^{-1}\vec b=\vec x$$

En cuanto a (a) y tu "pregunta principal": si $\,\det A=0\,$, aún puede ser necesario verificar si no hay soluciones o si hay soluciones infinitas (suponiendo que estamos trabajando en un campo infinito). Por ejemplo, si el sistema es homogéneo (sobre un campo infinito) debe tener soluciones infinitas, mientras que si el sistema es no homogéneo puede no tener soluciones o tener varias soluciones:

$$\begin{cases}x+y=1\\x+y=1\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{1}{1}\longrightarrow\,\,\text{soluciones infinitas}$$

$$\begin{cases}x+y=1\\x+y=0\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{1}{0}\longrightarrow\,\,\text{ninguna solución en absoluto}$$

y, por supuesto, en ambos casos mencionados anteriormente tenemos $\,\det A=0\,$

Answer 2

Para el caso de un sistema lineal de ecuaciones no homogéneas, es necesario considerar la matriz aumentada y comparar su rango con el rango de la matriz de coeficientes del sistema.

Answer 3

En realidad hay dos casos: Si el vector b no está en el espacio de columnas de la matriz A, entonces no tendrá soluciones. Si b está en el espacio de columnas de A, y dado que det(A)=0, entonces tendrá un número infinito de soluciones. Espero que esto pueda ser un buen punto de partida para ti.

Answer 4

Sea el sistema de ecuaciones: $$\left\{ \begin{array}{l} ax+by=e \\ cx+dy=f \end{array} \right.$$ Si multiplicamos el determinante por $x$ y usamos algunas propiedades de determinantes obtenemos: $$x\begin{array}{|cc|} a & b \\ c & d \\ \end{array}= \begin{array}{|cc|} ax & b \\ cx & d \\ \end{array} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow x\begin{array}{|cc|} a & b \\ c & d \\ \end{array}= \begin{array}{|cc|} e-by & b \\ f-dy & d \\ \end{array} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow x\begin{array}{|cc|} a & b \\ c & d \\ \end{array}= \begin{array}{|cc|} e & b \\ f & d \\ \end{array}+ \begin{array}{|cc|} -by & b \\ -dy & d \\ \end{array} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow x\begin{array}{|cc|} a & b \\ c & d \\ \end{array}= \begin{array}{|cc|} e & b \\ f & d \\ \end{array}+ 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow x\begin{array}{|cc|} a & b \\ c & d \\ \end{array}= \begin{array}{|cc|} e & b \\ f & d \\ \end{array}$$ Si tenemos un sistema donde $\begin{array}{|cc|} a & b \\ c & d \\ \end{array}=0$ y $\begin{array}{|cc|} e & b \\ f & d \\ \end{array}=0$ entonces $x$ puede ser cualquier número real.

Podemos hacer lo mismo con $y$, pero en ese caso obtenemos: $$\Rightarrow y\begin{array}{|cc|} a & b \\ c & d \\ \end{array}= \begin{array}{|cc|} a & e \\ c & f \\ \end{array}$$ Nuevamente, si $\begin{array}{|cc|} a & b \\ c & d \\ \end{array}=0$ y $\begin{array}{|cc|} a & e \\ c & f \\ \end{array}=0$, $y$ puede asumir varios valores dependiendo de los valores de $x$ o viceversa.

Answer 5

Si buscas una respuesta a nivel de escuela secundaria:

Hay un número infinito de soluciones cuando las ecuaciones que van en la matriz producirían exactamente el mismo gráfico.

por ejemplo:

x + y = 1

2x + 2y = 2