Primera vectorise la matriz$X$, de modo que $vec (X) = (X_{11},X_{12},X_{21},X_{22})^T$, aquí elegí el orden de la base como $11 \to 1, 12\to 2, 21\to 3, 22\to 4$ En base a esto ahora calcular $Q = H\otimes 1 + 1 \otimes H$ (Sin transposición en cualquier lugar!), en el caso de una matriz de $2 \times 2$ obtenemos $Q$ en la base queremos como:
$$
Q = \left( \begin{array}{cccc}
2H_{11}& H_{21}&H_{12}&0 \\
H_{12}& H_{11}+H_{22}&0&H_{12}\\
H_{21}&0&H_{11}+H_{22}&0 \\
0&H_{21}&0&2H_{22}
\end{array}\right)
$$
Ahora invierta $Q$ y aplicar la inversa de a $vec(BH)$, el resultado es $vec(X)$, que es la respuesta que quiere. Supongo que lo que hizo antes estaba mal porque utiliza una transposición en $H$ (que no deberían estar ahí), pero funcionó para el caso sencillo en el que usted eligió porque ese $H$ usted escribió es diagonal para $H=H^T$ y ambos están de acuerdo. Si usted fuera a tratar con un no-simétrica $H$ su respuesta iba a salir mal, porque $Q$ estaba equivocado. Usted debe utilizar el $Q$ escribí anteriormente, que es una expresión correcta para $Q$, válido también cuando se $H$ no es diagonal.