Cómo resolver la ecuación de matriz $AXH+AHX−BH=0$

Question

Cómo resolver la ecuación de matriz $AXH+AHX−BH=0$? Todas las matrices son cuadradas, $A$, $B$ conocido constante matrices y invertible, $H$ puede tomar cualquier valor, $X$ representan la solución.

He visto acerca de la Sylvester Ecuación, como en este post de la Resolución de una ecuación de matriz $AX=XB$ en la CAS, pero no estoy seguro de cómo se aplican debido a la presencia de la matriz H.

Answer 1

La ecuación es todavía lineal en $X$, lo que significa que si usted se considera $X$ un vector, llamado por $\Xi$ (que se compone de todos los elementos de la matriz $X$ en un orden determinado) se puede escribir en la forma

$$ Q\Xi = W $$ donde $W$ es el vector también de las entradas de la matriz $BH$. Ahora el problema se reduce a encontrar $Q$ y su inversa (usted debe comprobar si $Q$ es invertible, no es obvio para mí que va a ser).

La matriz $Q$ representa la acción de $A$ $H$ $X$ a veces actúa a la izquierda y a veces a la derecha. Yo llame el derecho de acción del operador $^R$ y el de la izquierda $^L$, entonces en realidad usted tiene $Q = A^L \otimes H^R + (AH)^L \otimes {\bf 1}^R$ y usted puede escribir la matriz como un producto tensor, y luego invertir. Para simplificar el tema también podría comenzar multiplicando la ecuación a la izquierda por $A^{-1}$, pero el método para resolver sigue siendo el mismo. Su respuesta es, a continuación, $\Xi = Q^{-1} W$ que puede asignar de nuevo a $X$ en forma de matriz.

Answer 2

Bueno, la ecuación $AXH + AHX - BH = 0$ es equivalente a $A(HX + XH) = BH.$

Usted dice $A$ es invertible, entonces usted puede escribir $HX + XH = A^{-1}BH$ que es una ecuación de Sylvester (Wikipedia) y pueden ser resueltos en los Casos en que por las funciones descritas en la respuesta a los post que enlaza, o como $$(I_n \otimes H + H^T \otimes I_n) \operatorname{vec} X = \operatorname{vec}(A^{-1}BH).$$

Si $A$ es no invertible, yo haría como anbarief sugieren. Primera resolver $$AY = BH$$ mediante la resolución de $$(I_n \otimes A) \operatorname{vec} Y = \operatorname{vec}(BH)$$ y luego resolver la ecuación de Sylvester $HX + XH = Y$, por ejemplo, a través de $$(I_n \otimes H + H^T \otimes I_n) \operatorname{vec} X = \operatorname{vec} Y.$$

De coure, si $A$ a no es invertible, la ecuación de $AY = BH$ tienen varias o ninguna solución.

Answer 3

Mi idea es que ... tratar de resolver esta ecuación de primer : $$ A(X_{1}) = BH $$, luego de resolver, $$ XH+HX = X_{1} $$ , by writing $XH + HX = H(X + H^{-1}XH) $. Then write the solution $X$ as a matrix that has $H$ para la diagonalización. Tal vez eso funcione..?

Answer 4

Primera vectorise la matriz$X$, de modo que $vec (X) = (X_{11},X_{12},X_{21},X_{22})^T$, aquí elegí el orden de la base como $11 \to 1, 12\to 2, 21\to 3, 22\to 4$ En base a esto ahora calcular $Q = H\otimes 1 + 1 \otimes H$ (Sin transposición en cualquier lugar!), en el caso de una matriz de $2 \times 2$ obtenemos $Q$ en la base queremos como:

$$ Q = \left( \begin{array}{cccc} 2H_{11}& H_{21}&H_{12}&0 \\ H_{12}& H_{11}+H_{22}&0&H_{12}\\ H_{21}&0&H_{11}+H_{22}&0 \\ 0&H_{21}&0&2H_{22} \end{array}\right) $$ Ahora invierta $Q$ y aplicar la inversa de a $vec(BH)$, el resultado es $vec(X)$, que es la respuesta que quiere. Supongo que lo que hizo antes estaba mal porque utiliza una transposición en $H$ (que no deberían estar ahí), pero funcionó para el caso sencillo en el que usted eligió porque ese $H$ usted escribió es diagonal para $H=H^T$ y ambos están de acuerdo. Si usted fuera a tratar con un no-simétrica $H$ su respuesta iba a salir mal, porque $Q$ estaba equivocado. Usted debe utilizar el $Q$ escribí anteriormente, que es una expresión correcta para $Q$, válido también cuando se $H$ no es diagonal.