La igualdad de valores dados por los Teoremas de Valor medio

Question

Así que yo estaba haciendo algunos cálculos de la tarea, el otro día, y la siguiente pregunta que se me ocurrió: ¿qué funciones tienen la propiedad de que el valor de $c$ garantizado por el Valor medio Teorema de los instrumentos Derivados es el mismo que el valor de $c$ garantizado por el Valor medio Teorema para las Integrales? Por la escala, es suficiente para considerar $(0,1)$, por lo que la condición es

$$f'(c)=f(1)-f(0)\,\,\,\, \text{and}\,\,\,\, f(c)=\int_0^1 f(x)\, dx.$$

Después de algunos experimentos, me encontré con que $f(x)=e^x$ obras, pero me preguntaba si hay otras soluciones, y si no, cómo se podría ir sobre la muestra de que no hay otras soluciones existen.

Estoy bastante seguro de que esta es la única solución, ya que MVT para los Derivados es sólo MVT para las Integrales aplicadas a $f'$, e $e^x$ es la solución a $f=f'$, pero me preguntaba si hay algo "raro" pasó a dar otras soluciones.

Answer 1

La media teorema del valor de las promesas de la función en algún momento, llame a $c\in X$ el dominio, alcanzar el promedio de la tasa de cambio sobre un intervalo. El valor medio teorema para la integración de las promesas de la función en algún punto de alcanzar el promedio de la altura sobre el intervalo.

si $F'(x)=f(x)$ es un anti-derivado de la $f(x)$...

$f(c) = \frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}$

$f(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b-a} = V$

Tenemos el valor promedio, V.

Ahora tomamos la derivada de ambos lados. $f'(c) = \frac{1}{b-a}[F'(b)-F'(a)]$

$f'(c) = \frac{1}{b-a}[f(b) -f(a)] = W$ y que es la tasa promedio de cambio.

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pero, $e^x$ no es la única solución.

Necesitamos c tal que:

$f(c) = V$ un determinado constante.

y c

$f'(c) = W$ una constante diferente.

que es donde me quedé

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vamos

$f(x) = a_0x+a_1$

en el intervalo de a a b queremos

$f(c) = \frac{a_0b^2 +a_1b-a_0a^2 -a_1a}{b-a}$ ahora nos encontramos c

$a_0c+a_1 = \frac{a_0(b -a)(b+a) +a_1(b- a)}{b-a}$

$a_0c= a_0b+a_0a$

$c=b+a$ muy agradable.

y $f'(x) = a_0$, $\forall x$

por lo tanto, tenemos la correcta pendiente.