¿Cuál es el límite de una secuencia de eventos? Probabilidad

Question

Esta es una pregunta con la que estoy luchando:

Demuestre que para una secuencia creciente de eventos $$A_1\subset A_2\subset A_3\subset ...$$ se cumple la siguiente ecuación $$P\big(\bigcup_nA_n\big)=\lim_{n\rightarrow\infty}P(A_n)$$

Esto es lo que tengo hasta el momento: dejar $(B_n)_{n=1}^{\infty}$ sea una secuencia de eventos tal que $$B_{1}=A_{1},B_{2}=A_{2}\backslash A_{1},B_{3}=A_{3}\backslash A_{2}\cap A_{1},...,B_{n}=A_{n}\backslash(\cap_{i=1}^{n-1}A_{i})$$ Así que obviamente cada dos elementos en $B_n$ son disjuntos y $\bigcup B_n = \bigcup A_n$ así que $$P\big(\bigcup A_n\big) = P\big(\bigcup B_n \big) = \sum_n P(B_n)$$

Y estoy atrapado aquí. Realmente no estoy seguro de lo que un límite de una secuencia de eventos aquí, así que sólo estaba siguiendo lo poco que sé. Conozco los límites de una secuencia, pero ¿qué significa cuando los elementos son conjuntos? ¿La secuencia converge a un conjunto? ¿Qué es ese conjunto?

Agradecería cualquier motivación sobre el tema del límite, y sobre la resolución de la cuestión.

Gracias.

Answer 1

Si $$A_1\subset A_2\subset A_3\subset ...$$ entonces $$\bigcup_n A_n=\lim_{n\rightarrow \infty }A_n$$

Prueba con $$B_{1}=A_{1},B_{2}=A_{2}\backslash A_{1},B_{3}=A_{3}\backslash A_2,...,B_{n}=A_{n}\backslash(A_{n-1})$$

$$P\big(\bigcup_n A_n\big) = P\big(\bigcup_n B_n \big) = \sum_{n=1}^\infty P(B_n)=\lim_{n\rightarrow \infty} P(A_n)$$

Answer 2

Respondo a la pregunta del título. Veo que ya llegó una respuesta a la pregunta del cuerpo, así que la dejo de lado.

La única definición sensata de "límite" para una secuencia de conjuntos es su unión, si la secuencia es creciente, y la intersección, si es decreciente. Si no es ninguna de las dos cosas, entonces no está tan claro a qué te refieres con el límite. Pero una definición razonable es la siguiente: Definir $$\begin{aligned} \limsup_{n\to\infty} A_n&=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k,\\ \liminf_{n\to\infty} A_n&=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k,\\ \end{aligned}$$ y que el límite sea el valor común de estos dos si coinciden. En caso contrario, el límite no existe.

En palabras: El límite existe si cada elemento que pertenece a infinitos $A_k$ pertenece a todos menos a un número finito de ellos, y entonces el límite consiste en todos los elementos que lo hacen.

Answer 3

$P(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = P(\lim_{n \to \infty} \cup_{i=1}^{n} A_i) = P(\lim_{n \to \infty} A_n) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)$ donde la última igualdad es por el teorema de convergencia monótona: https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem#Lebesgue.27s_monotone_convergence_theorem