¿Qué Frattini longitud medida?

Question

He oído derivados de longitud, por ejemplo, se describe como una medida de "cómo no conmutativa" el grupo es. Un grupo abelian se han derivado de la longitud de $1$, mientras que un no-solucionable grupo será tan no-conmutativa que incluso el más rápido de la convergencia de conmutacion de la serie va a continuar indefinidamente.

De forma análoga, nilpotency clase de medidas "cómo cerca de ser abelian" un grupo es por la búsqueda de la longitud de la más lenta convergencia de conmutacion de la serie. Un grupo de nilpotency clase $2$ tiene esencialmente un "giro" en su estructura, y un grupo lo suficientemente lejos de ser abelian no puede ser completamente descifrados por los conmutadores sin el uso de armas de fuego más grande.

Entonces, entre estas dos definiciones, tenemos de Ajuste de longitud, que mide la distancia de un grupo de nilpotent.

Por supuesto, hay otra serie flotando por ahí.

El Frattini subgrupo de un grupo de $G$, denotado $\Phi(G)$, es la intersección de todas máxima subgrupos de $G$. (Equivalentemente, $\Phi(G)$ es el conjunto de todos los no generadores de $G$.) Definimos la Frattini serie por $\Phi_0(G)=G$$\Phi_{k+1}(G)=\Phi(\Phi_k(G))$. El más pequeño $n$ que $\Phi_n(G)=1$ es el Frattini longitud de $G$.

Así que, de forma intuitiva, lo que hace Frattini longitud medida?

Answer 1

Un factor principal de un grupo finito $G$ es un par $H/K$ tal que $H \leq K$ son dos subgrupos normales de $G$ tal de que no hay otro subgrupo normal de $G$ contenidas correctamente entre el$H$$K$. Factores principales de grupos finitos vienen en dos tipos principales: primaria abelian $p$-grupos y un producto directo de copias de un fijo finito no abelian simple grupo.

Hay tres tipos de factores principales: complementa, franco Frattini, y el resto. Un complementado principal factor es uno en el que hay algo de $M/K$ tal que $G=MH$$M \cap H = K$. Un Frattini principal factor es uno donde $H/K \leq \Phi(G)/K$. Un complementado factor puede ser abelian o no, pero un Frattini factor debe ser abelian. El resto sólo consisten en no abelian jefe de factores, y no sé de ningún ejemplos de improviso (que tendría que ser bastante grande).

Si $H/K$ es un factor principal y $H \leq \Phi(G)$, luego de cours $K \leq \Phi(G)$ $\Phi(G/K) = \Phi(G)/K$ $H$ es un Frattini factor. Por el contrario, una cadena de Frattini factores de $H_1/H_2, H_2/H_3, \dots, H_n/1$ todos viven en el Frattinis subgrupo: $H_1 \leq \Phi(G)$. Así que el Frattini subgrupo es la parte más inferior de la sección de Frattini factores principales.

El otro Frattini jefe de los factores que componen el resto de las capas de Frattini-ness. Tanto como el $p,p'$-de la serie de un número finito de $p$-solución de grupo, puede ver un grupo finito como compuesto de Frattini y no Frattini capas de factores principales.

El Frattini factores a menudo puede ser ignorado en un grupo. Por ejemplo, si ninguno de los Frattini factores principales son $p$-grupos, entonces el grupo no tiene elementos de orden $p$. El centralizador de la $p$-jefe de factores es igual a la centralizador de la no-Frattini $p$-jefe de factores. Frattini factores están cubiertos por todas máxima subgrupos, pero cada subgrupo maximal en un número finito de solucionable grupo elige un jefe factor que complementa. El Frattini factores son una especie de forma de exudado entre la más rígida de las capas de la complementado factores. Existe una fórmula para el número de generadores de un grupo y el número de la generación de secuencias de un grupo en términos de la no-Frattini factores principales del grupo.

El Frattini subgrupo de la Frattini subgrupo es la parte de la Frattini subgrupo que realmente no importa, incluso para la parte del grupo original que no importa. El Frattini subgrupo es nilpotent, por lo que su Frattini subgrupo inmediatamente se convirtiera en el exponente-p derivado de la serie, que es bastante aburrido.

Answer 2

Tal vez podemos ver de la siguiente manera. Tenemos la caracterización de la Frattini subgrupo de un grupo de $\,G\,$:

$$x\in\Phi(G)\Longleftrightarrow\,\,\text{if for some}\,\,X\subset G\,\,,\,\langle\, X\,,\,x\,\rangle =G\Longrightarrow \langle\,X\,\rangle=G$$

como no generadores del grupo $\,G\,$.

Por lo tanto, si la serie

$$\Phi(G)=:\Phi_0(G)\supset\Phi(\Phi(G))=:\Phi_1(G)\supset...\supset\Phi_n(G)=1$$

Ahora, ¿qué significa $\,\Phi(K)=1\,$? Esto significa que no trivial elemento en $\,K\,$ no es redundante generador de un conjunto de generadores de $\,K\,$ . Los únicos grupos que puedo pensar ahora mismo el cumplimiento de esta son de la escuela primaria abelian, así que tal vez podríamos decir que la Frattini Longitud de un grupo de alguna manera mide la parte de que el grupo original, tenemos a "chatarra" en orden a quedar con un abelian primaria de uno (o con cualquier otro tipo de grupo para el que cualquier elemento no es redundante generador de un conjunto de generadores).

Es solo una idea...