Cardinalidad de los conjuntos Vitali: ¿contable o incontablemente infinita?

Question

Estoy un poco confundido sobre la cardinalidad de los conjuntos Vitali.

Sólo una breve reseña de lo que tengo entendido sobre su construcción hasta ahora:

Dividimos el intervalo real $[0,1]$ en un número incontable de clases disjuntas de tal manera que dos números $x$ y $y$ están en la misma clase si su diferencia x-y es un número racional. Por lo tanto la relación de equivalencia sobre los números reales sería: $x\sim y\iff x-y\in\mathbb Q$ .

La cardinalidad de nuestras clases es equivalente a la cardinalidad de $\mathbb Q$ por lo que las clases tienen elementos contables infinitos.

¿Cuántas clases de este tipo hay? Como cada una sólo tiene elementos contables infinitos, pero cada elemento de $[0,1]$ se encuentra en una clase, hay infinitas clases incontables.

Ahora, usando el axioma de elección, tomamos un elemento de cada clase y lo ponemos en el conjunto V. Este es un conjunto Vitali.

Esperemos que todo esto sea bueno en este momento.

Así pues, cada conjunto de Vitali debería tener un número incontable de elementos (porque tenemos un número incontable de clases), pero debería haber un número contable de conjuntos de Vitali (porque cada clase tiene un número contable de elementos), ¿correcto?

Pero entonces, ¿por qué Wikipedia afirmar que "Hay incontables conjuntos de Vitali..."?

Answer 1

Usted tiene $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ clases, cada una de ellas es del tamaño $\aleph_0$ .

Usted obtiene el conjunto $V$ eligiendo un elemento de cada clase. ¿Cuántas posibilidades hay para esa elección? Precisamente $$\aleph_0^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$$ posibilidades. (Tamaño de cada clase elevado al número de clases - básicamente estás contando los mapas del conjunto de clases, para cada clase tienes contablemente muchas posibilidades).

Este número cardinal es definitivamente incontable: $2^{\mathfrak c}>\mathfrak c>\aleph_0$ .

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La igualdad cardinal anterior se mantiene ya que $$2^{\mathfrak c} \le \aleph_0^{\mathfrak c} \le \mathfrak c^{\mathfrak c} = (2^{\aleph_0})^{\mathfrak c} = 2^{\aleph_0\cdot\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c},$$ así que por el Teorema de Cantor-Bernstein todos los números cardinales de esta cadena de desigualdades son iguales.

Answer 2

Nota: : A lo largo de este post, asumiré el axioma de la elección. Esto no siempre será necesario (de hecho, en la mayoría de los casos en los que lo usaremos, podríamos haber usado principios de elección más débiles), pero hace que las cosas sean mucho menos complicadas de demostrar. Hazme saber si estás interesado en una versión más libre de elección (o si hay alguna afirmación que hago aquí que no crees/entiendes), y veré lo que puedo hacer. Sin embargo, será necesario hacer alguna elección, como se discute en esta respuesta .

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Dado un conjunto Vitali $V$ obtenemos un nuevo conjunto de Vitali $V'$ si elegimos una clase de equivalencia, entonces intercambiamos el único elemento de $V$ en esa clase de equivalencia para otro miembro de esa clase de equivalencia, ¿sí? Además, si hubiéramos elegido un diferentes clase de equivalencia para realizar ese intercambio en para obtener un conjunto $V''$ , digamos entonces tendríamos $V''\neq V$ por el mismo razonamiento, pero nos también tienen $V''\neq V'$ . (¿Por qué?) Así, para cada clase de equivalencia -de las que hay incontables- podemos obtener un conjunto de Vitali diferente realizando un intercambio como el descrito anteriormente, y los intercambios realizados en diferentes clases de equivalencia dan lugar a diferentes conjuntos de Vitali, por lo que de esta manera, vemos que hay incontables conjuntos de Vitali.

Cabe destacar que cualquier colección de disjuntos por pares Los conjuntos de Vitali serán a lo sumo contablemente infinitos, pero esa es otra historia.

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Si estás interesado en la cardinalidad exacta del conjunto de conjuntos de Vitali -llamémoslo $\Bbb V$ -- podemos utilizar el siguiente enfoque. En lo que sigue, por $\mathfrak{c}$ Denota la cardinalidad de $\Bbb R$ y por $\aleph_0$ I denota la cardinalidad contablemente infinita. Dados dos conjuntos cualesquiera $A,B$ , dejé que $B^A$ denotan el conjunto de funciones de $A$ a $B$ . Por definición, tenemos $|B|^{|A|}:=\bigl|B^A\bigr|.$

En primer lugar, observe que todo conjunto de Vitali es, por supuesto, un subconjunto de $\Bbb R$ --un elemento del conjunto de potencias de $\Bbb R$ . Existe una biyección lista desde el conjunto de potencias de $\Bbb R$ a $\{0,1\}^{\Bbb R}$ dado por $A\mapsto\chi_A$ --donde $\chi_A$ es el función característica de $A$ . Por lo tanto, el conjunto de potencias de $\Bbb R$ tiene cardinalidad $\left|\{0,1\}^{\Bbb R}\right|=\left|\{0,1\}\right|^{|\Bbb R|}=2^\mathfrak{c},$ y como $\Bbb V$ es un subconjunto del conjunto de potencias de $\Bbb R$ entonces $$|\Bbb V|\leq 2^\mathfrak{c}.\tag{1}$$

Ahora, $[0,1]$ también tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$ y así no puede sea la unión de menos de $\mathfrak{c}$ -muchos conjuntos de cardinalidad $\aleph_0$ . Desde $[0,1]$ es la unión de las clases de equivalencia descritas anteriormente, entonces debe haber al menos $\mathfrak{c}$ -muchos de ellos. Por otro lado, no puede haber más que $\mathfrak{c}$ -muchas de estas clases, ya que son disjuntas, y por tanto su unión tendría una cardinalidad mayor que $\mathfrak{c}$ si hubiera más de $\mathfrak{c}$ -muchos. Por lo tanto, hay precisamente $\mathfrak{c}$ -muchas clases de equivalencia. Sea $f$ sea cualquier biyección de $\Bbb R$ al conjunto de clases de equivalencia.

Los racionales son contables, por lo que la secuencia $\{q_n\}_{n\in\Bbb N}$ sea una enumeración de los racionales. Fijar algún conjunto de Vitali $V$ . Para cualquier $x\in\Bbb R$ , dejemos que $g(x)$ sea el único miembro de $V$ en la clase de equivalencia $f(x)$ --es decir, $g(x)$ es el único elemento de $V\cap f(x)$ . Obsérvese que, dado cualquier $x\in\Bbb R$ la secuencia $\{g(x)+q_n\}_{n\in\Bbb N}$ es una enumeración de la clase de equivalencia $f(x)$ .

Ahora, dado cualquier $h\in \Bbb N^{\Bbb R}$ (cualquier función $h:\Bbb R\to\Bbb N$ ), dejaremos que $$V_h=\left\{g(x)+q_{h(x)}:x\in\Bbb R\right\}.$$ Entonces $h\mapsto V_h$ es una inyección de $\Bbb N^{\Bbb R}$ a $\Bbb V$ Así que $$\aleph_0^\mathfrak{c}=\left|\Bbb N\right|^{|\Bbb R|}=\left|\Bbb N^{\Bbb R}\right|\le|\Bbb V|.\tag{2}$$

Por último, observe que $\{1,2\}^{\Bbb R}$ es un subconjunto de $\Bbb N^{\Bbb R}$ --es decir, cada función $\Bbb R\to\{1,2\}$ es una función $\Bbb R\to\Bbb N$ -- sin importar si sus números naturales son los enteros positivos o los enteros no negativos. (Si defines tus números naturales de otra manera... eres un imbécil, lol.) Por lo tanto, $$2^\mathfrak{c}=\left|\{1,2\}\right|^{|\Bbb R|}=\left|\{1,2\}^{\Bbb R}\right|\le\left|\Bbb N^{\Bbb R}\right|=\left|\Bbb N\right|^{|\Bbb R|}=\aleph_0^\mathfrak{c}.\tag{3}$$ Por lo tanto, tenemos $$|\Bbb V|\overset{(1)}\le 2^\mathfrak{c}\overset{(3)}\le\aleph_0^\mathfrak{c}\overset{(2)}\le|\Bbb V|,$$ así que por Teorema de Schroeder-Bernstein tenemos $$|\Bbb V|=2^\mathfrak{c}=\aleph_0^\mathfrak{c}.$$

Answer 3

Me lo imagino así: En cada punto irracional de $[0,1]$ se "adjunta" un conjunto del tamaño de $\mathbb Q$ . Entonces está claro que hay un número incontable de estos conjuntos, ya que la cardinalidad de $\mathbb R \setminus \mathbb Q$ es igual a la cardinalidad de $\mathbb R$ .

Y cada uno de estos conjuntos tiene el tamaño de $\mathbb Q$ porque es una copia de $\mathbb Q$ . Definición de dos elementos de $\mathbb R$ que sean equivalentes si difieren en un racional le da $\mathbb R / \mathbb Q$ que se parece a $x + \mathbb Q$ para cada irracional $x$ en $\mathbb R$ .

Answer 4

La idea de que cada elección de representante es un conjunto de Vitali. Tenemos incontables clases de equivalencia; cada clase es infinita; así que tenemos incontables maneras de elegir. De hecho, tenemos $2^{2^{\aleph_0}}$ formas de elegir representantes, lo que nos da un montón Los conjuntos Vitali, más que los propios números reales.