Elementales de álgebra muestra que el producto de dos números en la forma de $x^2 + ny^2$ nuevo tiene la misma forma, ya que si $p = (a^2 + nb^2)$$q = (c^2 + nd^2)$, $$pq = (a^2 + nb^2)(c^2 + nd^2) = (ac \pm nbd)^2 + n(ad \mp bc)^2$$ Mi pregunta es: Suponiendo que un número $z$ puede ser tenidos en cuenta en números primos de la forma $x^2 + ny^2$, hace que cada representación de $z$ en esta forma surgen de la repetición de las aplicaciones de esta fórmula a los factores primos?
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Stephan Aßmus
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Bien, no. Es una buena pregunta, sin embargo. Incluso con la clase número uno, podemos comenzar con $1 + 3 = 4,$ aunque $x^2 + 3 y^2$ no declara $2.$ El camino Dickson habría hablado acerca de esto es el imprimitive forma de la misma discriminante, es decir, $2 x^2 + 2 x y + 2 y^2.$
Quedarse con una clase por género, tenemos $1 + 5 = 6,$ aunque $x^2 + 5 y^2$ no declara $2,3.$ Este es un fenómeno diferente llamado Gauss composición. El truco para esto es que el $2 x^2 + 3 y^2$ no representa la $2,3,$ y hay una identidad diferente que permite a $(2 a^2 + 3 b^2)(2 c^2 + 3 d^2) = x^2 + 6 y^2. $ probablemente debería ser capaz de encontrar una identidad con la mano.
Uno de los más simples, donde la identificación de los números primos involucrados se convierte en un desastre es $x^2 + 11 y^2.$ es un poco de un problema (aunque solucionado) a decir que los números primos puede ser expresado como $x^2 + 11 y^2$ y que, por $3 x^2 + 2 x y + 4 y^2,$ entre los números primos $p$ para que el símbolo de Jacobi $(-11 | p) = 1.$, Pero, viendo como la última forma no representa la $3,5$ integralmente, no nos sorprende ver a $4 + 11 = 15.$ En este caso, usted debe incluir el "contrario" la forma en $(3 a^2 + 2 a b + 4 b^2)(3 c^2 - 2 c d + 4 d^2) = x^2 + 11 y^2.$ La presencia de la otra forma es lo que hace que el conjunto (de tres "clases") en un grupo.
Bueno, es un comienzo.
Bien, la respuesta a la pregunta que hace es sí, como sigue. Estoy tomando un primer $p$$\gcd(p,n) = 1.$, Entonces yo le voy a exigir $u^2 + n v^2 = p.$ el Próximo, me estoy tomando un cierto número de compuestos o principal, la llamada se $Q,$ y la demanda acerca de la $pQ$ en lugar de $Q$ sí, $$ pQ = r^2 + n s^2. $$ En primer lugar, tenemos $$ \left( \frac{u}{v} \right)^2 \equiv \left( \frac{r}{s} \right)^2 \equiv -n \pmod p. $$ Choose $\pm$ s a fin de que $$ \left( \frac{u}{v} \right) \equiv \left( \frac{r}{s} \right) \pmod p. $$ Así tenemos $ u s \equiv v r \pmod p,$ o $$ -us + vr \equiv 0 \pmod p. $$ Siguiente, $$ p^2 Q = (ur + n v s)^2 + n (-us + v r)^2, $$ y así $$ Q = \left( \frac{ur + n v s}{p} \right)^2 + n \left(\frac{-us + v r}{p} \right)^2 $$ en números enteros.
Combine esto una vez más con $p = u^2 + n v^2$ y llegar de nuevo a $pQ = r^2 + n s^2$ como se desee.
hopeseekr
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Otra solución ver mi respuesta en http://mathoverflow.net/questions/111489/the-quadratic-form-x2ny2-via-prime-factors/
