Encontrar la suma de la serie finita $S=\sum_{k=1}^{2015}{(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}}k$

Question

Encontrar la suma de $S=\sum_{k=1}^{2015}{(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}}k.$

Yo particiones k en dos categorías Bien k es congruente a 0 , 3 mod(4) o congruentes a 1,2 mod(4). Pero todavía no tuve respuesta

Answer 1

La suma es $\sum_{j=0}^{503}\sum_{k=4j}^{4j+3}(-1)^{k (k+1)/2}k$ (no te preocupes por $k=0$... es igual a cero)

Esto es $\sum_{j=0}^{503}[4k-(4k+1)-(4k+2)+(4k+3)]=\sum_{j=0}^{503}0=0$.

Answer 2

Pregunta interesante.

Cada grupo de cuatro términos suma a $4$. Por lo tanto la suma de los $4n$ términos es igual a $4n$, por ejemplo, $$\sum_{k=1}^{2016}(-1)^{^{\frac {k(k+1)}2}}k=2016$$ y de ello se sigue que

$$\sum_{k=1}^{2015}(-1)^{^{\frac {k(k+1)}2}}k=\sum_{k=1}^{2016}(-1)^{^{\frac {k(k+1)}2}}k-2016=\color{red}0$$

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PD: es interesante observar el caso general, de la siguiente manera: $$\sum_{k=1}^{4n-1}(-1)^{^{\frac {k(k+1)}2}}k=\overbrace{\sum_{k=1}^{4n}(-1)^{^{\frac {k(k+1)}2}}k}^{=4n}-4n=0$$

Answer 3

La serie es $-1-2+3+4-5-6+7+8-\cdots$. Un cuarteto de cuatro términos $$-(4k-3)-(4k-2)+(4k-1)+(4k)$$ contribuye $4$ a la suma, etc.