Extensiones y contracciones de primer ideales bajo integral extensiones

Question

Deje $R\subseteq S$ ser una parte integral de extensión de anillos conmutativos con la identidad. Deje $P$ ser un alojamiento ideal en $R$ $Q$ un alojamiento ideal en $S$. Si $Q=PS$ $P=Q\cap R$ ¿qué podemos decir acerca de $Q^n\cap R$? Este ideal, que siempre contiene $P^n$, pero cuando se hace de la igualdad?

Answer 1

Por ejemplo, si $R\subseteq S$ plano: la extensión de la realidad, es fielmente plano y por tanto, para cada ideal $I\subseteq R$ tenemos $IS\cap R=I$. Aplicando esto a $I=P^n$ rendimientos $$P^n = SP^n\cap R = (SP)^n \cap R = Q^n \cap R.$$

Sin embargo planitud no es frecuente que la propiedad de la integral de las extensiones de ...