$ \lim_{x \to \infty } ( \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{ x^{a} + x^{2} } )^{x-[x]} $

Question

Límite de la multa :

$$ \lim_{x \to \infty } ( \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{ x^{a} + x^{2} } )^{x-[x]} $$

tal que : $$ a \in (0,2)$$

y :

$[x]: \ \ $ función del suelo

Mi intento :

$$f(x):=( \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{ x^{a} + x^{2} } )^{x-[x]}$$

$$\ln f(x)=(x-[x])\ln(\sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{ x^{a} + x^{2} } )$$

Ahora por favor, ayuda

Answer 1

La expresión bajo la operación límite dice $F(x) $ es de la forma $\{f(x) \} ^{g(x)} $ y claramente $f(x) >0$ para todos $x>0$ y $0\leq g(x) <1$ para todos $x>0$ . Ahora está claro que $F(x) $ se encuentra entre $1$ y $f(x) $ y toma el valor $1$ cuando $x$ es un número entero positivo. Además, si $x$ está cerca de un número entero positivo y es menor que él, entonces $F(x) $ está cerca $f(x) $ . Por lo tanto, está claro que si $F(x) $ tiende a un límite como $x\to\infty$ entonces debe ser $1$ y además esto ocurrirá si y sólo si $f(x) \to 1$ como $x\to\infty$ .

Ahora es fácil analizar $f(x) $ que es de la forma $p-q$ . Multiplicándolo por $(p^{2}+pq+q^{2})$ y dividiéndolo por la misma cantidad vemos que $f(x) $ se expresa como una fracción con numerador $p^{3}-q^{3}=3x^{a}$ . Además, si se divide el numerador y el denominador de $f(x) $ por $x^{4/3}$ entonces el denominador tiende a $3$ y el numerador es $3x^{a-4/3}$ . De ello se desprende que $f(x) \to 1$ si y sólo si $a=4/3$ . Por lo tanto, el límite deseado es igual a $1$ si $a=4/3$ y el límite no existe si $a\neq 1$ .

Answer 2

$\begin{array}\\ ( \sqrt[3]{4 x^{a} + x^{2} } - \sqrt[3]{ x^{a} + x^{2} } )^{x-[x]} &=(x^{2/3} \sqrt[3]{1+4 x^{a-2}} - x^{2/3}\sqrt[3]{1+ x^{a-2} } )^{x-[x]}\\ &=x^{2(x-[x])/3} (\sqrt[3]{1+4 x^{a-2}} - \sqrt[3]{1+ x^{a-2} } )^{x-[x]}\\ &=x^{2(x-[x])/3} (1+4 x^{a-2}/3+O(x^{a-3}) - (1+ x^{a-2}/3+O(x^{a-3})) )^{x-[x]}\\ &=x^{2(x-[x])/3} ( x^{a-2}+O(x^{a-3} ))^{x-[x]}\\ &=x^{(x-[x])(2/3+a-2)} ( 1+O(x^{-1} ))^{x-[x]}\\ &=x^{(x-[x])(a-4/3)} ( 1+O(x^{-1} ))^{x-[x]}\\ \end{array} $

Como dice la respuesta de Paramanand Singh, si $a = 4/3$ , esto es $( 1+O(x^{-1} ))^{x-[x]} $ que va a $1$ .

Si $a \ne 4/3$ , esto va a $x^{(x-[x])(a-4/3)} $ . Esto va desde $1$ (cuando $x = [x]$ ) a $x^{a-4/3}$ (cuando $x-[x] \approx 1$ ). Por lo tanto, cuando $a \ne 4/3$ , el límite no existe.