Tengo una pregunta de los deberes y no puedo resolverla.
¿Cómo organizar 20 libros en 5 estantes si el orden de los libros en cada estante importa?
Primero pensé que la respuesta es $5^{20}$ Pero eso sólo cuenta la disposición de los libros en la estantería si el orden no importa, pero el número de estanterías sí. Lo que dificulta es que puede haber cualquier número de libros en cada estantería. ¿Alguna ayuda?
En última instancia, multiplicaremos por $20!$ para tratar la ordenación. Pero también tenemos que ocuparnos de cuántos libros que puede contener cada estantería.
Dejemos que $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ ser los números de libros que se colocan en las distintas estanterías. Para encontrar el número de formas de tomar la decisión sobre números necesitamos determinar el número de soluciones de la ecuación $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$$ en enteros no negativos. Se trata de una norma Estrellas y barras problema. El artículo de la Wikipedia ofrece un buen análisis de este problema.
Se trata de que haya $\dbinom{20+5-1}{5-1}$ soluciones a la ecuación, y por lo tanto $20!\dbinom{24}{4}$ formas de ordenar los libros.
Otra forma de ver el problema:
Toma tu $20$ distintivo libros, y añadir $4$ idéntico Marcadores de "fin de estantería". Estos $24$ los objetos pueden estar dispuestos en una fila de N formas distintas: $$N=\frac{24!}{4!}$$ Los marcadores de "Fin de Estantería" funcionan así: todos los libros (si los hay) hasta el primer marcador van a la primera estantería, los que están entre el primer y el segundo marcador (si los hay) van a la segunda estantería, .... Los libros después del cuarto y último marcador (si los hay) van a la quinta estantería.
Primero tienes que elegir 4 libros de 20 y pedirlos, es decir $P^{20}_4$ .
A continuación, elige 4 libros de entre 16 y los pide, es decir $P^{16}_4$ .
A continuación, elige 4 libros de entre 12 y los pide, es decir $P^{12}_4$ .
Entonces, elige 4 libros de entre 8 y los ordena, es decir $P^{8}_4$ .
Entonces elige 4 libros de entre 4 y los pide, es decir $P^{4}_4$ .
Se multiplican las 5 combinaciones de estanterías juntas
Formas de pedir los libros = $P^{20}_4*P^{16}_4*P^{12}_4*P^{8}_4*P^{4}_4$ .
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