la ecuación diferencial que contiene la integral definida

Question

Estoy atascado en la solución de la siguiente ecuación diferencial que contiene una integral definida, que no sé cómo lidiar con:

$$ f^{\prime\prime} + a^2 f - b\int_0^L f(t) \, dt = c$$

La condición de contorno es$f(0)=0$$f(L)=R$. Que alguien me ayude a salir de aquí? Gracias de antemano.

Answer 1

Su solución es $$f(t)=A\cos(at)+B\sin(at)+C$$ where the boundary conditions and the original equation lead to 3 linear equations in the 3 parameters $a,B,C$, \begin{align} 0&=f(0)=A+C\\ R&=f(L)=A\cos(aL)+B\sin(aL)+C\\ c&=a^2C-b\left(\frac Aa\sin(AL)+\frac Ba(1-\cos(aL))+CL\right) \end{align} Este sistema lineal puede ser sin solución, pero entonces el problema no es solucionable por los límites y las condiciones de contorno.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\int_0^L f(t) dt$ es una constante que depende de $L$ y llamar a $d$. Ahora sólo tiene que integrar dos veces. Escribo $f(t)$$f$.

$$f' \frac{df'}{df}=c+bd-a^2f$$