La universalización de la cobertura a través de rutas vs ad hoc construcciones

Question

Estoy buscando algo de intuición en cuanto universal, portadas de los espacios topológicos.

$\textbf{Setup:}$ Para un espacio topológico $X$ con suficientes adjetivos con los que se puede construir una/la conecta simplemente a cubrir el espacio de ella mirando de clases de equivalencia de rutas de acceso en un punto de base. A continuación, puede poner una topología en la manera estándar de hacer por Hatcher - un conjunto abierto en torno a una clase de equivalencia de caminos, decir $[\gamma]$ es el conjunto de $[\gamma\cdot\eta]$ donde $\eta$ es un camino que comienza en $\gamma(1)$ $U$ abierta en $X$.

Aquí están mis preguntas:

P: me parece que este espacio topológico, como la construcción de más arriba, no intuitivo. Ciertamente no sé cómo iba a manipular y hacer topológico argumentos. ¿Qué es el "derecho" a la manera de pensar acerca de la topología de aquí? O es esta construcción útil únicamente para la prueba de la existencia de simplemente conectado cubre?

P: muchas veces es manejable para la construcción de una conecta simplemente a cubrir por ad-hoc métodos (fantasía adivinar). El plano proyectivo, toro, etc a todos nos vienen a la mente. Por la universalidad sé que el que cubre el espacio obtenido por cualquiera de las ad-hoc método es $\textit{the}$ universal cubrir el espacio obtenido por el método anterior, por lo que hay un isomorfismo de estos dos. Hay una manera estándar para ver este isomorfismo? Siendo muy concretas, por ejemplo en los casos de $\mathbb RP^2$ o $S^1\times S^1$.

En términos simples: ¿cómo puedo " ver " lo que la universalización de la cobertura se ve como desde el de la construcción en general?

Answer 1

Supongamos $p:\overline{C}\to C$ es un universal que cubre. Por definición, alrededor de cada punto en $C$ es un conjunto abierto que se levanta a $\overline{C}$. Así que, localmente, $\overline{C}$ parece a $C$. Supongamos que uno quería cortar $C$ en las pequeñas (contráctiles) los parches y luego unirlas de nuevo para formar $\overline{C}$ - el problema es que $\overline{C}$ es simplemente estar conectados, de manera que si (decir) empezamos costuras parches alrededor de un trivial bucle en $C$ cuando se envuelva alrededor de la espalda hasta el punto de base que no podemos puntada que el último parche de vuelta para el parche original, en lugar de tener que crear una copia de la original parche y seguir desde ahí.

Considerar el espacio $C=\Bbb C\setminus\{0\}$. Si uno toma un sentido contrario bucle de $-1$ $0$ volver a sí mismo, entonces el último parche no puede ser cosida a la primera, así que debemos hacer una copia de la original parche para coser. En la siguiente imagen, hemos literalmente levantó la copia por encima de la original:

$\hskip 2in$

Si continuamos este proceso indefinidamente, entonces hay un montón de copias de piezas de $C$ que se están cosidos juntos. Dado un punto en $C$ en un parche, habrá muchas copias de ese parche en nuestra colcha, y tantos ascensores de ese momento - lo que nos permite distinguir entre los ascensores de la misma el punto es cómo hemos llegado a ella desde el original punto de base. Por lo tanto, podemos interpretar los puntos en $\overline{C}$ como puntos en el espacio original $C$, pero con una "memoria" de cómo llegamos allí, desde un punto de base.

Esto nos inspira a formalizar nuestra construcción al permitir que los elementos de $\overline{C}$ ser trazados en $C$, modulo extremo de la fijación de homotopy. Puntos en $\overline{C}$ son especificados por puntos en $C$, con una memoria de cómo llegamos allí, desde el punto de base, por lo que si llegamos a $x\in C$ a través de un camino de $\gamma$ $C$ $U$ es básico nbhd de $x\in C$, entonces el levante $\overline{U}$ de los que nbhd está compuesta de puntos de $\overline{u}$, y para especificar estos $\overline{u}$ debemos decir que los puntos de $C$ son (de hecho: se encuentran por encima de $U$) y de cómo llegamos a ellos. Llegamos a estos puntos en $\overline{U}$ por primera viajar a lo largo de $\gamma$ desde el punto de base para $x$ y luego se movió dentro de $U$ sí.

En cuanto a tu otra pregunta, trate de levantar los caminos. Decir que $D\to C$ es una cubierta, donde $D$ es un espacio conocido usted sabe muy bien, y, en particular, usted sabe $D$ es simplemente conectado. Nuestra construcción de la $\overline{C}$ está compuesto de caminos que emana de (por ejemplo) $x\in C$. A ver lo que el punto correspondiente de $D$ es, simplemente levante el camino de $C$ $D$y mira su extremo! Este es el isomorfismo.

Answer 2

Me resulta más agradable de ver todos los universal en las portadas de todos los puntos de base. Una forma de hacerlo es a topologise fundamental groupoid $\pi_1 X$ (suponiendo que la costumbre de las condiciones locales) mediante la adición de los barrios en los dos puntos finales de cada ruta de acceso de la clase. De esta manera $\pi_1 X$ se convierte en un topológico groupoid. Tenemos el origen y destino de los mapas de $s,t: \pi_1 X \to X$ y, según las convenciones, $s^{-1}(x)$ o $t^{-1}(x) $, es la universalización de la cobertura de $X$$x$.

¿Esto ayuda a "ver" la universalización de la cobertura?

Una posible respuesta es que "ver" el universal cubrir una de las necesidades de un modelo algebraico de una cubierta de mapa. Este es el mejor suministrado, en mi humilde opinión, por un cubriendo de morfismos de groupoids. Un ejemplo de una cubierta de morfismos de groupoids es tomar un grupo de $G$ y a la forma de la acción groupoid para la acción de la $G$ sobre sí mismo por la multiplicación. Esto le da un groupoid $\widetilde{G}$ con objeto de establecer el conjunto de $G$, y dependiendo de las convenciones, sólo una flecha $(h,g):hg \to g$ entre dos objetos, y la composición de la ley, $$(k,hg)(h,g)=(kh,g).$$ The covering morphism $\widetilde{G} \to G$ is $(h,g)\mapsto h$. This gives the "universal cover" of the group $G$. Para obtener más información, con diferentes convenios, ver este libro, pero que no topológico groupoids.

Otra manera de pensar acerca de dichos espacios, es decir que un modo de estudiar un espacio de $X$ es ver en mapas de $Y \to X$ que son de alguna manera más simple.

Pero el origen de cubrir espacios en la noción de superficie de Riemann, y una manera de hacer funciones complejas tales como $\sqrt{z}$ o $ \log z$, un único valor, mediante la definición de ellos en las superficies que cubren el plano complejo excepto por una o más puntos. Esta "vuelta a la historia" ver realmente podría ayudar a "ver" lo que se quiere y de lo que está pasando!