¿Qué condiciones de curvatura hacen que una superficie sea rígida?

Question

Consideremos una superficie compacta $S$ posiblemente con límite, incrustado en $\mathbb{R}^3$ con la métrica riemanniana inducida. Creo que si $S$ tiene una curvatura gaussiana positiva constante (es decir, $S$ es un trozo de esfera), es rígido. Aquí rígido significa que todas las incrustaciones isométricas están relacionadas por transformaciones rígidas del espacio ambiente.

¿Son también rígidas las superficies con curvatura positiva no constante? A la inversa, si $S$ tiene curvatura negativa, ¿es siempre localmente no rígida (una vecindad suficientemente pequeña de cualquier punto es no rígida)?

Answer 1

Rigidez de las superficies cerradas de curvatura positiva en $R^3$ es un teorema de S. Cohn-Vossen de 1927. Véase, por ejemplo "Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces" de Q.Han, teorema 8.1.2.

En cuanto a $C^2$ -superficies cerradas lisas de curvatura negativa en $R^3$ No existen; por lo tanto, se puede decir que todos son rígidos.

Answer 2

¿Podemos entonces generalizar con dos afirmaciones de la siguiente manera?

1. Todas las superficies lisas compactas cerradas de curvatura gaussiana arbitraria y $ 4 \pi$ curvatura integral son rígidos. El ejemplo de la superficie mostrada arriba, compuesta por regiones continuas constantes positivas y negativas, es rígido (por favor, ignore todas las líneas dibujadas en la superficie).

2. Todas las superficies lisas compactas arbitrarias con condición de contorno fijada como en los problemas de valores propios o como en los problemas de deformación estructural de elementos finitos de la mecánica de materiales en los que se anulan los seis grados de libertad, son rígidas.

EDIT: Borraré la imagen anterior después de algún tiempo, en vista de un error (que nadie señaló) que encontré después de la publicación -- Como las derivadas de segundo orden a lo largo del meridiano son discontinuas, no es particularmente un buen ejemplo. Para una mayor discusión, por favor, considere la siguiente superficie formada por la curva del coseno revuelto desplazado $ y = 2 + cos(x) $ donde los bordes $x= 0$ y $ x = \pi$ se fijan a la manera de las soluciones de la función propia o de la FEA.

¿Puede entonces considerarse matemáticamente rígida por el cumplimiento de las dos condiciones anteriores?