"Exactamente dos" o "Exactamente k" del inglés en lógica (cuantificacional)

Question

La inspiración es el Ejemplo 2.2.3 #2(d) en P71 de Cómo demostrarlo por Daniel Velleman.

Analizar las formas lógicas de la siguiente declaración: El número de $x$ tiene exactamente $k$ $n$th raíces.

Respuesta : $\color{#FF4F00}{\exists \, r_1 \cdots \exists \; r_k} {\huge{[}}\, \color{#007FFF}{r_1 \;\& \, \cdots \& \,r_k \text{ are $n$th roots of $x$}} \; \text{ and } \; \color{green}{ r_1 \neq \cdots \neq r_k} \quad \text{ and }\color{#960018}{\text{ nothing else is a $n$th root of $x \;$}}{\huge{]}} $ $= \color{#FF4F00}{\exists \, r_1 \cdots \exists \; r_k} {\huge{[}}\, \color{#007FFF}{r_1^n = x \;\& \, \cdots \& \, r_k^n = x \text{ are $n$th roots of $x$}} \; \wedge \; \color{green}{r_1 \neq \cdots \neq r_k} \quad \wedge \;\color{#960018}{ \lnot \, \exists y \, {\Large{[}} \,y^n = x \, \wedge \, y \neq r_1 \, \wedge \cdots \wedge \, y \neq r_k \, {\Large{]}}} \;{\huge{]}} $.

Entiendo la necesidad de que el azul y el verde de las declaraciones.
Sin embargo, ¿por qué el (carmín) rojo necesarios? Al principio de cada frase, en naranja, me declaró la existencia de sólo $k$ variables (ie $\color{#FF4F00}{r_1, ..., r_k}$), por lo que simplemente no hay más variables que podrían servir como el $(k + 1), (k + 2), ...$ variables. Por lo tanto, cómo y por qué la naranja NO implica el rojo tácitamente y sin decir una palabra?

Yo hice referencia a Cómo convertir una de las frases en inglés que contiene "dos" o "al menos dos" en el cálculo de predicado de la frase?.

Answer 1

Tomemos un caso más sencillo. Supongamos que desea representar 'No es exactamente una F' en lógico estándar de notación.

La respuesta normal sería

$\exists x(Fx \land \forall y(Fy \to y = x))$

o algún equivalente como

$\exists x(Fx \land \neg\exists y(Fy \land y \neq x))$.

Ahora imagina que alguien te preguntan cuál es la cláusula, después de la conjunción estaba haciendo. "¿Por qué es necesario? Al principio de la frase que se declaró la existencia de sólo una de las variables (es decir,$x$), por lo que y por qué no la primera conjunción implica la segunda tácitamente y sin decir una palabra?". Así que debería ser obvio en este caso lo que ha ido mal. Si escribimos sólo la primera conjunción, es decir, sólo escribir

$\exists xFx$

esto nos indica que al menos una cosa (en el correspondiente dominio) es F. Que es lo que el cuantificador existencial significa. No declarar que no es sólo una $F$ (aunque, por supuesto, sólo se utiliza una variable). Es decir, que no descarta la posibilidad de que hubiera más de un F; necesitamos el extra cláusula precisamente para descartar que fuera.

Eso debería darte una pista, entonces, ¿por qué usted necesita el "rojo" de la cláusula en el caso más complejo.

Answer 2

El naranja, azul y verde declara que hay al menos $k$ n'th raíces. Sin embargo es perfectamente posible que haya más de $k$ \emph{objects} que las variables están parados actualmente. Eso es lo que excluye su sentencia rojo.

Por ejemplo $\exists x (x^2=1)$ dice que $1$ como una raíz cuadrada (p. ej. 1) sin embargo $-1$ podría también estar parado aquí.

Answer 3

La importancia de la parte roja puede ser más clara con la expresión equivalente

Si $y$ es una raíz de $n$-th de $x$ y $y=r_1$ o $y=r_2$ o... o $y = r_k$.

Answer 4

según tu comentario (arriba):

La sección naranja, azul y la codicia afirma la existencia de raíces distintas de $k$. La declaración de rojo dice que no hay otros. Así hay exactamente $k$ raíces. La declaración rojo formaliza el significado del trabajo exactamente en la declaración "el número $x$ tiene exactamente $k$, raíces de $ n$-th.