Cómo probar esta desigualdad $\sum_{1\le i<j\le n}ix_{i}x_{j}\le\frac{n-1}{3}\sum_{k=1}^{n}kx_{k}$

Question

que $n\ge 2,n\in Z$ y $x{1},x{2},\cdots,x{n}\in[0,1]$, mostrarán que $$\sum{1\le i<j n="">Este problema es compition de Occidente chia (2013,8.16)

mi idea: dejar\begin{align*} &\dfrac{n(2n+1)(n+1)}{6}=n^2+(n-1)^2+\cdots+1\ &\ge(x{1}+x{2}+\cdots+x{n})^2+(x{2}+x{3}+\cdots+x{n})^2+(x{3}+\cdots+x{n})^2+\cdots+(x{n-1}+x{n})^2+x^2{n}\ &=nx^2{n}+(n-1)x^2{n-1}+\cdots+2x^2{2}+x^2{1}+2\sum{1\le i<j cauchy-schwarz="" de="" desigualdad="" entonces="" i="" la="" luego="" n="" tenemos="" use="">$$\dfrac{2}{n(n+1)}\left(\sum{k=1}^{n}kx{k}\right)^2\le\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\sum_{1\le i<j n="">basta para probar que %#% $ #%

luego dejé $$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{2}{n(n+1)}\left(\sum{k=1}^{n}kx{k}\right)^2\le\dfrac{n-1}{3}\sum{k=1}^{n}kx{k}$ $ entonces resultará que el % $ $$\sum{k=1}^{n}kx{k}=A\in[0,\dfrac{n(n+1)}{2}]$no parece verdadero, así que mi idea no puede trabajar y cómo probar esta desigualdad? Gracias

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Answer 1

Prueba $n=2$ es trivial. Se procede por inducción en $n$. Puedo escribir todos los detalles si es necesario.

Answer 2

Para la notación más conveniente, que $Ln := \sum{1 \leq i<j :="\frac{n-1}{3}" demostrar="" i="" n="" que="" r_n="" tenemos="" x_i="" x_j="" y="">Procedemos por inducción, el caso $n = 1$ ser trivial. Supongamos que la demanda tiene $n$, probaremos $n+1$. Bastará para mostrar que $\Delta L_n \leq \Delta R_n$ donde $\Delta Ln := L{n+1} - L_n$ y $\Delta Rn := R{n+1} - R_n$.

Tenemos %#% $ de #% y $$\Delta Ln = \sum{1 \leq i\leq n} i xi x{n+1}$ $. Por lo tanto, es equivalente a $$\Delta Rn = \frac{1}{3} \sum{1 \leq i\leq n} i xi x{n+1} + \frac{(n+1)n}{3} x_{n+1} = \frac{1}{3} Ln + \frac{2}{3}{n+1 \choose 2} x{n+1}$ $\Delta R_n \geq \Delta Ln$. Pero esto es claro porque: ${n+1 \choose 2} x{n+1} \geq \Delta L_n$ $

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