¿Cómo probar que$\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos^2{t}}\; dt>2\pi$?

Question

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¿Cómo demostrar de manera elemental, que $$I=\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos^2{(t)}}\;dt$?

Answer 1

Aquí le damos una pista: $$ 1 + \cos^2 (t) \geq 1 $$ % todos $t$.

Answer 2

Para un enfoque geométrico, observe que el integral $I$ es la longitud del arco de la función $y = \sin x$ en el intervalo $[0, 2\pi]$. La desigualdad sigue ya que a partir de una línea recta $(0,0)$ $(2 \pi, 0)$ es estrictamente más corto que la ruta la gráfica de $\sin x$ $(0,0)$ $(2 \pi, 0)$.