¿Cuándo series convergen funciones meromorphic en $\mathbb{C}~$?

Question

Estoy trabajando a través de ejercicios en Lang Análisis Complejo 3e, y tiene un problema..

El capítulo 5, Sección 3, Problema 1: Demostrar que las siguientes series de definir una función de meromorphic en $\mathbb{C}$ y determinar el conjunto de polos, y sus órdenes.

(a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(n+z)}~~~~~~$(b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nz)}{n!(n^2+z^2)}~~~~~~$(c) $\dfrac{1}{z}+\displaystyle\sum_{\substack{n\neq0\\n=-\infty}}^{\infty}\Bigg[\frac{1}{z-n}+\dfrac{1}{n}\Bigg]$

Ahora cada plazo $f_n$ de (a) es holomorphic en todas partes, excepto en $z=-n$ que es un simple polo. Estos pasarán a ser simples postes en la suma, en todos los números enteros negativos. Del mismo modo, (b) ha simples postes en cada entero distinto de cero, (c) ha simples postes en absoluto de los números enteros.

¿Cómo llegamos a la conclusión de que una infinita suma de meromorphic funciones de meromorphic? Necesito mostrar que convergen? ¿Por qué es esto suficiente?

También, si el numerador de (b) se $\sin(\pi z)$ este cambio en el pedido o en la existencia de los polos?

Answer 1

¿Cómo llegamos a la conclusión de que una infinita suma de meromorphic funciones de meromorphic? Necesito mostrar que convergen? ¿Por qué es esto suficiente?

La respuesta es esencialmente contenida en el teorema de Montel. Digamos que tenemos una suma de meromorphic funciones: $$ \sum_{n = 0}^{\infty} f_n $$ Primera pregunta: ¿se Puede encontrar un dominio $D \subseteq \mathbb{C}$, de modo que ninguno de los polos de cualquier $f_n$ está contenido en $D$? Si sí, entonces la siguiente pregunta es si la serie $$ F_N := \sum_{n = 0}^{N} f_n $$ es localmente acotada en $D$ (esta es la parte donde usted necesita para probar la convergencia de la serie en el sentido de que usted necesita para mostrar que hay un número finito de límite superior para todos los $z \in D$). Si es así, podemos aplicar el teorema de Montel y a la conclusión de que $F_N$ es normal, es decir, tiene una larga que converge de forma compacta para un holomorphic función de $F$$D$. Desde la secuencia de $(F_N)$ es una secuencia de Cauchy, vemos que en realidad $(F_N)$ sí converge a$F$$D$.

Con el fin de mostrar que el $F$ es meromorphic en $\mathbb{C}$, tenemos que mostrar que $F$ no tiene una singularidad esencial y que el conjunto de los polos es un subconjunto discreto de $\mathbb{C}$.

Esto funcionará si usted puede demostrar que

• $F$ es finito en cada z que no es un polo de cualquier $f_n$,

• el conjunto de todos los polos de todos los $f_n$ es discreto y

• para cada z que es un polo de algunos $f_n$, z es un polo de sólo una cantidad finita $f_n$.