Encuentra el rango del tensor

Question

Necesito encontrar el rango del tensor $t = a \otimes a \otimes b + a \otimes b \otimes a + b \otimes a \otimes a$. Por simplicidad vamos a $a = (1, 0)^T$$b = (0, 1)^T$.

Yo sé la respuesta, el rango es igual a 3. Y además, como sé que el rango es igual a 3 para cada par de lineal independiente de vectores $a$$b$. Pero no sé cómo demostrar que el rango es igual a 3, incluso en este caso en particular.

Traté de escribir una suposición de que $t = u_1 \otimes v_1 \otimes w_1 + u_2 \otimes v_2 \otimes w_2$ y escribir elementwise ecuaciones. Pero tengo ocho ecuaciones, por lo que parece difícil de resolver: \begin{cases} t_{111} = u_{11}v_{11}w_{11} + u_{21}v_{21}w_{21} = 0\\ t_{112} = u_{11}v_{11}w_{12} + u_{21}v_{21}w_{22} = 1\\ t_{121} = u_{11}v_{12}w_{11} + u_{21}v_{22}w_{21} = 1\\ t_{122} = u_{11}v_{12}w_{12} + u_{21}v_{22}w_{22} = 0\\ t_{211} = u_{12}v_{11}w_{11} + u_{22}v_{21}w_{21} = 1\\ t_{212} = u_{12}v_{11}w_{12} + u_{22}v_{21}w_{22} = 0\\ t_{221} = u_{12}v_{12}w_{11} + u_{22}v_{22}w_{21} = 0\\ t_{222} = u_{12}v_{12}w_{12} + u_{22}v_{22}w_{22} = 0\\ \end{casos}

Gracias por la ayuda, no juzgar estrictamente es mi primera experiencia con los tensores.

Answer 1

$8=2^2+2^2$

Deje $\mathbf V=\left[\begin{matrix}v_{11}&v_{12}\\v_{21}&v_{22}\end{matrix}\right]$ y $\mathbf W=\left[\begin{matrix}w_{11}&w_{12}\\w_{21}&w_{22}\end{matrix}\right]$.

A continuación, el sistema anterior se puede reescribir como \begin{equation*} \begin{split} \mathbf V^T diag(u_{11},u_{21})\mathbf W = \left[\begin{matrix}t_{111}&t_{112}\\t_{121}&t_{122}\end{de la matriz}\right]= \left[\begin{matrix}0&1\\1&0\end{de la matriz}\right],\\ \mathbf V^T diag(u_{12},u_{22})\mathbf W = \left[\begin{matrix}t_{211}&t_{212}\\t_{221}&t_{222}\end{de la matriz}\right]= \left[\begin{matrix}1&0\\0&0\end{de la matriz}\right]. \end{split} \end{ecuación*} A partir de la primera ecuación se deduce que $\det \mathbf V\cdot u_{11}\cdot u_{21}\cdot\det\mathbf W=-1\ne 0$.Por lo tanto, $$ \mathbf V^T = \left[\begin{matrix}0&1\\1&0\end{de la matriz}\right] \mathbf W^{-1} diag(u_{11}^{-1},u_{21}^{-1}), $$ y de la segunda ecuación, $$ \left[\begin{matrix}0&1\\1&0\end{de la matriz}\right] \mathbf W^{-1} diag(u_{11}^{-1},u_{21}^{-1})diag(u_{12},u_{22})\mathbf W = \left[\begin{matrix}1&0\\0&0\end{de la matriz}\right]. $$ Finalmente, $$ \mathbf W^{-1} diag(u_{11}^{-1}u_{12},u_{21}^{-1}u_{22})\mathbf W = \left[\begin{matrix}0&0\\1&0\end{de la matriz}\right], $$ una contradicción (que hemos obtenido que una matriz diagonal es similar a un bloque de jordan).