Quiero demostrar que el producto $$\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{z}{n} \right) \mathrm{e}^{-\frac{z}{n}}$$ converge de forma absoluta y uniforme en subconjuntos compactos de $\mathbb C$ :
Mi libro (Ahlfors) define la convergencia absoluta del producto $\prod a_n$ por la convergencia absoluta de la serie $\sum \text{Log } a_n$ donde sólo un número finito de términos puede ser cero, y deben ser eliminados de la secuencia. ( $\text{Log}$ denota la rama principal del logaritmo, donde el argumento está en $(-\pi ,\pi]$ .)
Así, para demostrar la convergencia absoluta, fijo $z \in \mathbb C$ y observa la serie cuyos términos son $\text{Log } \left[ \left(1+\frac{z}{n} \right) \mathrm{e}^{-\frac{z}{n}} \right]$ . Es bien sabido que si $\text{Arg }z_1,\text{Arg }z_2$ ambos se encuentran en $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ entonces $\text{Log } (z_1z_2)= \text{Log } z_1+\text{Log } z_2$ . Para un tamaño $n$ ambos factores $z_1=\left( 1+\frac{z}{n} \right),z_2=\mathrm{e}^{-\frac{z}{n}}$ satisfacen esto, así que $\text{Log } \left[ \left(1+\frac{z}{n} \right) \mathrm{e}^{-\frac{z}{n}} \right]=\text{Log } \left(1+\frac{z}{n}\right)+\text{Log } \mathrm{e}^{-\frac{z}{n}}$ . También es posible demostrar que $\text{Log } \mathrm{e}^{-\frac{z}{n}}=-\frac{z}{n}$ para un tamaño suficientemente grande $n$ . El problema se reduce así a la convergencia de $$\sum \left\lvert \text{Log } \left(1+\frac{z}{n} \right)-\frac{z}{n} \right\rvert $$
El teorema de Taylor establece que $$\text{Log }(1+w)=w+w^2 g(z) .$$ He estimado el resto y he encontrado que para $|w|<\frac{1}{2}$ , $$| g(w)| \leq 2(\ln 2+\pi), $$ por lo tanto, para $n$ (para que $|\frac{z}{n}| < \frac{1}{2}$ ), los términos de la última serie están dominados por $2(\ln2+\pi)\frac{|z|^2}{n^2}$ y $\sum 2(\ln2+\pi)\frac{|z|^2}{n^2}$ converge.
Dejé deliberadamente el $\Sigma$ no está indexado, ya que $z$ podría ser un cero de uno de los factores. En ese caso, sólo se tiene en cuenta una cola de la serie.
La prueba de la convergencia uniforme en conjuntos compactos sigue las mismas líneas. Sea $K \subset \mathbb C $ sea un conjunto compacto, como tal se encuentra en alguna bola $|z| \leq M$ . Tomando lo suficientemente grande $n$ encontramos de forma similar, que la serie $\sum \left\lvert \text{Log } \left[ \left(1+\frac{z}{n} \right) \mathrm{e}^{-\frac{z}{n}} \right] \right\rvert$ está dominada por $\sum 2(\ln2+\pi)\frac{M^2}{n^2}$ que converge. La prueba M de Weierstrass dice que la serie es uniformemente convergente y, por tanto, también lo es el producto.
Me encantaría escuchar cualquier opinión u observación sobre estas pruebas.
