Evaluación analítica de un integral definida

Question

Quiero evaluar analíticamente el % integral $\int _ {-1} ^ {1} \mathrm{d} x \frac{1}{ax+b} e^{cx} \sqrt{1-x^2}$, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales.

Traté de Mathematica, pero sin éxito. ¿Alguna idea?

Answer 1

Si la cantidad $$ \beta(x): = \frac{\sqrt{1-x^2}}{ax + b} $ es tal que el $\beta(x) \in [-1,1]$ puede definir $$ \sin(\alpha x) = \beta \,. $$ La integral entonces se reduce a $$ me = \int_{-1}^1 e ^ \,\sin(\alpha x) {cx} \, {\rm d} x \,. $$ De la Wikipedia, $$ me = \left.\frac{e^{cx}}{\sqrt{c^2+\alpha^2}}\,\sin (\alpha x - \phi)\right|_{-1}^1 $$ donde $$ \phi: = \frac{c}{\sqrt{c^2+\alpha^2}} \,. $$