Probabilidad uniforme discreta en un espacio de muestra de cardinalidad prime

Question

Mi pregunta es mostrar que si tengo un dado justo con $p$ caras, donde $p$ es primo, y el experimento consiste en rodar una vez, no dos eventos apropiados pueden ser independiente.

Aquí está mi método: Supongamos que $A$ y $B$ son eventos independientes. Entonces $$P(A \cap B) = P(A) P(B) = \frac{|A|}{p} \frac{|B|}{p} = \frac{|A||B|}{p^{2}}

Answer 1

Limpio pregunta!

Los resultados de la matriz se $\{1,2,\cdots,p\}$. Supongamos que tenemos un par de adecuada eventos $A,B$ y asumimos que son independientes. Estoy asumiendo aquí que "adecuada" significa que ni el evento está vacío y ninguno de los eventos es igual a la de todo el espacio. Si $A\cap B=\{\emptyset\}$ podemos obtener inmediatamente una contradicción, así que supongo que $A\cap B=C$, para un poco de evento $C$. Tenemos:

$\frac{|C|}{p}=P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{|A||B|}{p^2}$.

Reorganización de esto nos da:

$$p|C|=|A||B|.$$

Ya que ni $A$ ni $B$ es el total de espacio,$0<|A|<p$$0<|B|<p$. Desde $|C|>0$ $p$ es primo, $p$ debe dividir cualquiera de las $|A|$ o $|B|$. Esto es claramente una contradicción. Tenga en cuenta que si $p$ no fue el primer (es decir, $p=4$), a continuación, sólo se necesitan los factores de $p$ a dividir cualquiera de las $|A|,|B|$, lo $p$ prime es necesario.