integral del espacio de Banach mediante su definición en $X^{**}$ y luego probar que está en $X$

Question

La integración vectorial es algo en lo que generalmente trato de no pensar mucho. Tengo la impresión de que puede ser una especie de "madriguera de conejo" de una sutileza si uno lo permite. Así que tiendo a tratarla como una caja negra. Sin embargo, a la larga, adoptar esta actitud hace que una persona se sienta culpable y entonces es el momento de poner las cosas un poco más firmes. Sé que hay varias formas de definir la integral de una función valorada en un espacio de Banach. Lo que pregunto aquí es una aproximación que siempre he tenido en mi mente como algo que "debería funcionar", pero, cuando he intentado escribir los detalles, me he vuelto menos confiado. ¿Puede alguien ayudarme a poner esto en una base rigurosa? ¿O informarme amablemente de que este enfoque no es bueno?

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Este es el tipo de escenario que tengo en mente. Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach, digamos sobre $\mathbb{C}$ y que $f : \mathbb{R} \to X$ sea continua y tal que $M : = \int_\mathbb{R} \|f(t)\| \ dt < \infty$ . Ahora, para cualquier $\varphi \in X^*$ tenemos $$ | \int \varphi \circ f | \leq \int |\varphi(f(t))| \ dt \leq \int \| \varphi \| \| f(t) \| \ dt = M \|\varphi\| $$ por lo que no es difícil ver que $\varphi \mapsto \int \varphi \circ f : X^* \to \mathbb{C}$ es un funcional lineal acotado, es decir, un elemento de $X^{**}$ .

Lo que quiero hacer ahora es mostrar que este elemento del doble dual está realmente en $X \subset X^{**}$ para que haya un elemento $I \in X$ Satisfaciendo a $\varphi(I) = \int \varphi \circ f$ para todos $\varphi \in X^*$ . Se define entonces $\int f := I$ . La forma en que siempre imaginé hacer esto fue mediante una aplicación del siguiente hecho:

Un elemento $\psi \in X^{**}$ es en realidad en $X \subset X^{**}$ si (y sólo si) es continua $X^* \to \mathbb{C}$ cuando $X^*$ tiene la topología de estrella débil.

Por lo tanto, vamos a tratar de ver si $\varphi \mapsto \int \varphi \circ f$ tiene este tipo de continuidad. Supongamos que $\varphi_i$ es cualquier red en $X^*$ convergente en la topología de inicio débil a alguna $\varphi \in X^*$ . Es decir $\varphi_i(x) \to \varphi(x)$ para todos $x \in X$ . Queremos demostrar que $$ \int_\mathbb{R} \varphi_i(f(t)) \ dt \to \int_\mathbb{R} \varphi(f(t)) \ dt.$$ A nuestro favor tenemos que $\varphi_i \circ f \to \varphi \circ f$ en punto sobre $\mathbb{R}$ (de la continuidad de la estrella débil). Entonces, uno piensa que la función de convergencia dominada de Lebesgue puede aplicarse. Pero los problemas con esto son dos.

1. Necesitamos una función dominante para la familia de funciones $t \mapsto \varphi_i(f(t))$ . Creo que tal vez el principio de delimitación uniforme puede ayudar aquí?
2. El teorema de convergencia dominado por Lebesgue se aplica a las secuencias, no a las redes. A menos que haya alguna forma de evitar este problema, creo que este puede ser un error más crítico.

Para reiterar, la pregunta un poco floja que hago es:

¿Puede el enfoque para definir $\int f$ ¿Simplemente me perfilé como "rigourizado"?

Gracias por leer.

Answer 1

Consideremos primero la integral sobre un intervalo compacto $[a,b]$ . Entonces $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(t) dt$ está en el débil $^*$ cierre en $X^{**}$ del casco convexo $\mathrm{Conv}(f([a,b]))$ de $f([a,b])$ (moralmente, esto está claro ya que la integral con respecto a una medida de probabilidad es una combinación convexa generalizada, la prueba utiliza esta propiedad para las funciones de valor real). Por la continuidad de $f$ la gama $f([a,b])$ es compacto en $X$ y por lo tanto su casco convexo es precompacto y por lo tanto relativamente compacto en $X$ . Dado que los subconjuntos compactos de $X$ son débiles $^*$ cerrado en $X^{**}$ se obtiene que la integral $\int_a^b f(t) dt$ pertenece de hecho a $X$ (y no sólo al bidual).

Para el caso general se puede aproximar $f$ por $f \chi_n$ donde $\chi_n$ es $1$ en $[-n,n]$ , $0$ en $\mathbb R \setminus [-(n+1),n+1]$ y afin lineal en los dos intervalos restantes. Entonces se muestra $\int_{\mathbb R} f_n(t)dt = \int _{-(n+1)}^{n+1} f_n(t) dt \to \int_{\mathbb R} f(t)dt$ en la norma de $X^{**}$ para que la integral esté en $X$ (porque $X$ está cerrado en su bidual).

Answer 2

Desde esta respuesta sabemos que $\int_\mathbb{R}f(t)dt$ existe como algún elemento $x_f\in X$ si

1) $f(\mathbb{R}\setminus A)$ es separable para algún conjunto nulo $A$

2) $\varphi \circ f$ es continua para cada $\varphi\in X^*$

Vamos a demostrar que 1) y 2) se cumplen en nuestro caso. Para cada $n\in\mathbb{N}$ el conjunto $f([-n,n])$ es compacta como imagen continua de un conjunto compacto, y por tanto separable. Así, $f(\mathbb{R})=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} f([-n,n])$ es separable como unión de conjuntos separables. La segunda condición se cumple trivialmente porque $f$ es continua.

Por lo tanto, para cualquier $\varphi\in X^*$ obtenemos $$ \int_\mathbb{R}(\varphi\circ f)(t)dt=\varphi\left(\int_\mathbb{R} f(t)dt\right)=\varphi(x_f) $$ Así que el mapa $\varphi\mapsto \int_\mathbb{R}(\varphi\circ f)(t)dt$ es sólo la evaluación de $\varphi$ en $x_f$ .