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Question

Encontrar $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1+2^2+3^3+4^4+\cdots +n^n}{n^n}$ $

Tentativa: $$\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg[\frac{1}{n^n}+\frac{2^2}{n^n}+\frac{3^3}{n^n}+\cdots \cdots +\frac{n^n}{n^n}\bigg] = 1$ $

porque todos los términos se acercan a cero excepto últimos términos

pero la respuesta no es $1$, algunos me podrian ayudar a solucionarlo, gracias

Answer 1

Límite de una serie geométrica, $$\begin{align} &\frac{n^n}{n^n}+\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}+\frac{(n-2)^{n-2}}{n^n}+\cdots+\frac{1^1}{n^n}\ &\le1+\frac1n+\frac1{n^2}+\frac1{n^3}+\cdots\ &=\frac{n}{n-1} \end {alinee el} $$ ya que la suma es obviamente siempre $\ge1$, $\le\frac{n}{n-1}$, el Exprimir teorema dice que el límite es de $1$.

Answer 2

Por Stolz $$\lim{n\rightarrow \infty}\frac{1+2^2+3^3+4^4+\cdots +n^n}{n^n}=\lim\limits{n\rightarrow\infty}\frac{n^n}{n^n-(n-1)^{n-1}}=1$ $