Preguntas sobre el problema del punto fijo

Question

Considere la posibilidad de un homeomorphism $f:[0,1]^n\rightarrow [0,1]^n$, n$\in\mathbb{N}$. Deje $S:=\{x\in[0,1]^n:f(x)=x\}$

1. Puede $S$ contienen exactamente dos puntos?
2. Si $S$ no es un punto, entonces no $S$ incluyen (nondegenerated) camino?

$\\$

(sabemos $S\neq\emptyset$ por Brouwer teorema de punto fijo)

$\\$

Llegué a pensar que estas estudiando cosas relacionadas con el punto fijo de problemas, y estos parecen ser fiel a mí. Sin embargo, no tengo ninguna idea para demostrar que incluso en 1, que es más débil que 2. (y dudo que 2 es la verdad)

Answer 1

$[0,1]^n$ es homeomorfo a la bola cerrada$B^n$ y ese es el homeomorfo a la suspensión de$B^{n-1}$. Este es el producto$[0,1]\times B^{n-1}$ con$0\times B^{n-1}$ identificado en un punto y$1\times B^{n-1}$ identificado en (otro) punto. Considerar $f:(t,x)\mapsto (t^2,x)$. Los únicos puntos fijos en la suspensión son los "polos"$0\times B^{n-1} $ y$1\times B^{n-1}$.