¿Cómo determinar el radio de convergencia si la serie de Taylor no se puede escribir de una manera limpia?

Question

Estoy tratando de evaluar el radio de convergencia de la serie de Taylor centrada en el cero de la función $$f(z)=\frac{\sin(3z)}{\sin(z+\pi/6)}$$ Supongo que la respuesta debe ser $\pi/6$ debido a que la función no estará limitada si $x$ enfoques $\pi/6$. Y es fácil mostrar que $f$ es convergente para todos los $z$ con la norma de menos de $\pi/6$ debido a que el denominador no va a llegar a cero.

Sin embargo, fuera del círculo con un radio de $\pi/6$ existen puntos que hace que $f$ convergen. Así que estoy confundido si puedo obtener la respuesta correcta.

Generalmente para un simple poder de la serie, si podemos determinar el radio de convergencia tendremos la serie diverge para todos los $z$ fuera del círculo. Así que estoy realmente seguro de lo que es la situación aquí.

Answer 1

La serie de energía se divergen fuera el disco de radio %#% en $\frac\pi6$ #%. Eso no significa que la función no está definida allí.

"Generalmente para una simple serie de energía..." Esto es lo habitual. Considere la función $0$. Su serie de potencias centrada en $f(z)=\frac1{1-z}$ es $0$, con radio de convergencia $\sum\limits_{n=0}^\infty z^n$, aunque se define $1$ cuando $f(z)$. Fuera el disco de convergencia, estas funciones tienen diferentes series de energía con diferentes centros.