Evaluar

Question

Sugerencias para evaluar el límite $$\lim_{x\to0}(x\tan x)^x$ $

He intentado escribir $\tan$ $\dfrac{\sin}{\cos}$ y luego llegó la serie de Taylor de ellos pero no me llevan en alguna parte. Muchas gracias

Answer 1

Suponiendo que el límite existe y es igual a $L$, tomar registros de:

$$\log{L} = \lim_{x \to 0} x \log{(x \tan{x})}$$

Uso de $\tan{x} \sim x$ en este límite. Entonces use

$$\lim_{y \to 0} y \log{y} = 0$$

y el límite debe salir fácilmente:

$$\log{L} = \lim{x \to 0} x \log{x^2} = \lim{x \to 0} 2 x \log{x} = 0$$

Por lo tanto, $L=1$.

Answer 2

$$\large(x\tan x)^x=e^{\log(x\tan x)^x}=e^{x\log(x\tan x)}$$

Entonces $$\large\lim{x\to 0}(x\tan x)^x=e^{\lim{x\to 0}x\log(x\tan x)}\tag{since $ \exp(x) $ is continuous}$ $

Ahora $$\lim{x\to 0}x\log(x\tan x)=\lim{x\to 0}\dfrac{\log x+\log\tan x}{\dfrac{1}{x}}$ $

Aplicar regla de L'Hopital.

Answer 3

El límite existe si y sólo si \lim{x\to0 $$} \log((x\tan x) ^ x) = \lim {x\to0} (x\log(x\sin x)-x\log\cos x) $ existe, puesto que la exponencial es una función continua (creciente). El segundo sumando da no hay problema, porque su límite está claramente $0$. Por lo que calculamos\begin{align} \lim{x\to0}x\log(x\sin x)&= \lim{x\to0}x\log\left(x^2\frac{\sin x}{x}\right)\ &=\lim{x\to0}2x\log x +\lim{x\to0}x\log\left(\frac{\sin x}{x}\right). \end{align} otra vez, el segundo sumando tiene límite $0$ y también el primero de ellos es bien conocido a tener límite $0$. Por lo tanto $$ \lim{x\to0} \log((x\tan x) ^ x) = 0 $ y que $$ \lim{x\to0} (x\tan x) ^ x) = e ^ 0 = 1. $$

Answer 4

Sugerencia: que $y=(x\tan x)^x$, use $ x\sim \tan x$ y $\lim{x\to0}x\ln x=0$ % $ $$\large{\lim{x\to0}y=\lim{x\to0}e^{\ln y}=\lim{x\to0}e^{x\ln(x\tan x)}=\lim{x\to0}e^{x\ln(x^2)}=\lim{x\to0}e^{2x\ln(x)}=e^{0}=1}$