Por qué $E[X|X=Y]\neq E[Y]$ ?

Question

La pregunta completa era:

Dejemos que $X$ sea el número de lanzamientos hasta que una moneda con probabilidad de $1\over 3$ para aterrizar en Heads does y $Y$ el número de lanzamientos hasta que una moneda justa cae en Cara. ¿Qué es $E[X|X=Y]$ ?

La respuesta correcta es aparentemente $3\over 2$ que es inferior a ambos $E[X]$ y $E[Y]$ . Lo que me confunde es si sé que $X=Y$ y sé que $Y=2$ entonces también $X=2$ Por lo tanto

$$E[X|X=Y]=\sum_k k\cdot P(X=k|X=Y) = \sum_k k \cdot P(Y=k) = E[Y]$$

que parece ser errónea, mi suposición sería porque sabiendo que $X=Y$ también nos da información sobre $Y$ pero todavía no soy capaz de entender cómo o por qué funciona.

Answer 1

No excluyo que haya un atajo, pero creo que esto debe funcionar:

$\Pr\left(X=k\mid X=Y\right)\Pr\left(X=Y\right)=\Pr\left(X=k\wedge X=Y\right)=\Pr\left(X=k=Y\right)$

Así que:

$$\mathbb{E}\left(X\mid X=Y\right)\Pr\left(X=Y\right)=\sum_{k=1}^{\infty}k\Pr\left(X=k\mid X=Y\right)\Pr\left(X=Y\right)=\sum_{k=1}^{\infty}k\Pr\left(X=k=Y\right)$$

Pues eso:

$$\mathbb{E}\left(X\mid X=Y\right)=\frac{\sum_{k=1}^{\infty}k\Pr\left(X=k=Y\right)}{\Pr\left(X=Y\right)}=\frac{\sum_{k=1}^{\infty}k\Pr\left(X=k=Y\right)}{\sum_{k=1}^{\infty}\Pr\left(X=k=Y\right)}$$

$X$ y $Y$ son independientes por lo que $\Pr\left(X=k=Y\right)=\Pr\left(X=k\right)\Pr\left(Y=k\right)$ .