Convergencia en probabilidad, continuidad y uniforme convergencia en probabilidad

Question

Que $(Xi){i\in\mathbb{N}}$sea un estrictamente estacionario secuencias de variables al azar real valoradas con varianza finita. Contamos con la distribución empírica funciones$F{n}(u):=\frac{1}{n} \sum{i=1}^n 1{Xi\leq u}$y una función de distribución continua$F$. Asumir que para %#% todos #%\begin{align*} |F{n}(u)-F(u)|\xrightarrow{p} 0 \end{align} con probabilidad $u\in\mathbb{R}$.
Tiene ahora que\begin{align} \sup{u\in\mathbb{R}} |F{n}(u)-F(u)|\xrightarrow{p} 0? \end{align*} gracias!

Answer 1

Podemos utilizar 1.4 corolario de papel

Ramón van Handel, la propiedad universal de Glivenko-Cantelli, Prob. TH. rel. campos 155, 911-934 (2013)

que está disponible aquí (especialmente el punto 8). La hipótesis de convergencia del pointwise nos permite ver todos $u$,
$$F(u)=\mathbb P(\chi_{{Z_0\leqslant u}}\mid\mathcal I)\quad\mbox{p.s}.$$