¿Existe una unidad de expresión del grado de curvatura del espacio?

Question

1. ¿Existe una unidad de expresión del grado de curvatura del espacio?

2. Obviamente hay diferentes grados de deformación del espacio, el Sol deforma el espacio menos que el agujero negro. ¿Cómo se declara en física este grado de deformación del espacio?

3. ¿Cuánto espacio de deformación de Júpiter?

4. ¿Cuánto deforma el Sol el espacio?

Answer 1

En cuanto a en términos generales cómo medimos la curvatura del espacio, podemos utilizar métodos geométricos, en lugar de unidades de un sistema de coordenadas concreto, para establecer la desviación del espacio curvo en comparación con el espacio plano. Esta medición de la curvatura se basa en una relación sin unidades.

La curvatura positiva dará lugar a un triángulo con un ángulo interno total superior a 180 grados, y la curvatura negativa produce un triángulo de ángulo interno total inferior a 180 grados. Se puede encontrar más información sobre cómo podemos estimar la curvatura intrínseca en varias superficies topológicas en Curvatura gaussiana La curvatura gaussiana se define no como el déficit angular, sino como la relación entre el déficit angular y el área del triángulo.

La diferencia fundamental entre la curvatura intrínseca y la extrínseca es que para calcular la curvatura intrínseca no necesitamos una dimensión extra (de la que no disponemos en el espaciotiempo de 4 dimensiones).

De izquierda a derecha: una superficie de curvatura gaussiana negativa (hiperboloide), una superficie de curvatura gaussiana cero (cilindro) y una superficie de curvatura gaussiana positiva (esfera).

Curvatura positiva de 270 grados, en lugar de, como en el espacio plano, los 180 grados habituales de un triángulo.

Voy a omitir deliberadamente el concepto de Transporte paralelo y vaya directamente a la Efecto geodésico .

En un espacio tridimensional curvo, un gryoscopio es un buen objeto físico análogo para un vector tangente tridimensional.

Un giroscopio en órbita alrededor de la Tierra apuntará en una dirección determinada, y debido a la curvatura del espaciotiempo de la Tierra, la dirección a la que apunta girará debido a la curvatura del espaciotiempo causada por la masa de la Tierra. Esta rotación se denomina efecto geodésico, y la ilustración siguiente exagera este efecto, ya que no es detectable a simple vista, debido a la masa relativamente pequeña de la Tierra.

Este método basado en el giroscopio produce realmente una medición numérica, en lugar de geométrica.

 

Una representación exagerada del efecto geodésico. Un giroscopio colocado en órbita alrededor de la Tierra precesa debido a la curvatura del espacio alrededor de la Tierra.

Hay otros efectos, como Arrastre de marcos en Wikipedia Y una buena fuente de más información, de la que se ha extraído el resumen y las ilustraciones anteriores, es El efecto geodésico.

También incluyo un comentario de Jerry Schirmer: Yo diría que la curvatura de Riemann tiene definitivamente una unidad: la longitud inversa al cuadrado. Nótese que la desviación de los triángulos respecto a los 180 grados depende del tamaño del triángulo.

Answer 2

La cuestión se plantea en un no técnicos de nivel, y count_to_10 ha dado una bastante decente y no técnicas de respuesta. Sin embargo, la respuesta no literalmente dirección el OP pregunta acerca de las unidades de medida, o sobre cuánto curvatura es causada por, por ejemplo, el sol.

Hay una unidad para la expresión de grado cuánto espacio es curvo?

La relatividad General no describe la gravedad como curvatura del espacio, se describe como la curvatura del espacio-tiempo.

GR tiene más de una medida de la curvatura. De hecho, hay un número infinito de diferentes formas de medición de la curvatura, por ejemplo, el Carminati-McLenaghan invariantes, https://en.wikipedia.org/wiki/Carminati%E2%80%93McLenaghan_invariants. Sin embargo, hay algunas medidas de curvatura en el que son más fundamentales que otros y que se utiliza con frecuencia. Estos son el tensor de Riemann, el tensor de Ricci, y el escalar de Ricci.

Todos estos son los tensores. (Un escalar es un caso especial de un tensor.) Es un poco sutil para definir lo que queremos decir por las unidades de un tensor. Tengo una discusión detallada de este en el apartado 9.6 de mi teoría especial de la relatividad libro. Como se describe allí, hay varios diferentes convenciones para describir las unidades de un tensor. Ninguno de estos convenios es correcto o incorrecto; sólo tienes que elegir uno antes de poder decir lo que quieres decir por unidades.

De todos modos, si se adopta la convención de que soy partidario de que hay (que es esencialmente el utilizado por Schouten), entonces los tres tensores de curvatura de describir, sobre todo en unidades de metros^-2. Para relacionar esto a count_to_10 la respuesta, tenga en cuenta que el ángulo de déficit del triángulo en la primera figura es proporcional al área del triángulo. Por lo tanto, si queremos una medida de la curvatura, que es independiente de lo triángulo utilizamos, debemos dividir el ángulo en que el déficit por la zona.

Cómo mucho el Sol deformar el espacio?

En un localmente el sistema de coordenadas Cartesianas, todos los componentes del tensor de Riemann debido a que el sol del campo son de orden $Gm/(c^2r^3)$ donde $m$ es la masa del sol y de la $r$ es la distancia desde el sol. Como una motivación para esta expresión, sin profundizar en los detalles de la GR, la idea es que los GR se describe la gravedad como una fuerza ficticia, y sólo a los efectos de la marea son reales. En la física Newtoniana, los efectos de la marea como $Gm/r^3$. El factor de $c^{-2}$ es sólo una cuestión de unidades; la necesitamos con el fin de obtener un SI el resultado. Establecimiento $r$ igual a la distancia de la tierra al sol, obtenemos acerca de $4\times 10^{-31}\ \text{m}^{-2}$.

Answer 3

En la métrica Robertson-Walker,

$$ (\text{ds})^2 = c^2(\text{dt})^2 - F^2(t)\left[ \frac{(\text{dr})^2}{1-kr^2} + r^2(\text{d}\theta)^2 + r^2\sin^2\theta (\text{d}\phi)^2 \right] $$

El $k$ en el segundo término es el parámetro de curvatura que toma los valores +1 o -1 dependiendo de si el espaciotiempo está curvado positiva o negativamente. Se trata de una versión simplificada de $K$ que es la curvatura gaussiana. La curvatura espacial se relaciona entonces con el escalar de Ricci $R$ que es un número determinado por la geometría del espacio que lo rodea.

Answer 4

entre la suma de los ángulos del triángulo y la curvatura total dentro de ese triángulo viene dada por donde i es el ángulo medido en cada satélite (medido en radianes), T es la superficie triangular 2D definida por los tres satélites sobre los que se integra, K es la curvatura gaussiana en cada punto del triángulo, y dA es el área infinitesimal con curvatura K . Para una región del espacio con curvatura total cero, los ángulos sumarán radianes (180). La curvatura positiva conduce a una suma mayor que de curvatura negativa a una suma menor que .

k es la constante de la ley de Coulomb R es el tensor de Ricci - El tensor de Ricci es la unidad menos

Una forma de medir la curvatura del espacio-tiempo es con giroscopios y éstos miden arcsec/año o segundos de arco por año. Pero los grados siguen funcionando en el espacio. Si colocas un triángulo en una esfera, sus ángulos sumarán 270 grados en lugar de 180.

Answer 5

Sí. En cosmología, se llama 'la métrica'. La "métrica" es la ecuación que describe cómo se "curva" el espacio alrededor de los cuerpos, etc., y permite distinguir entre la "distancia métrica" y la "distancia propia". El libro "Introduction to Cosmology" de Barbara Ryden tiene una fantástica introducción al concepto, así como algunas ilustraciones muy bonitas.