Suma directa de subespacios ortogonales

Question

Yo estoy trabajando en el siguiente conjunto de problemas.

Deje $\mathcal{H}$ ser un espacio de Hilbert y $A$ $B$ subespacios ortogonales de $\mathcal{H}$.

Demostrar o refutar:

1) $A \oplus B$ está cerrada, $A$ $B$ están cerrados.

2) $A$ $B$ están cerrados, a continuación, $A \oplus B$ es cerrado.

He podido demostrar 1) y si la prueba es correcta, incluso se sostiene si $\mathcal{H}$ es sólo un producto interior en el espacio.

Por desgracia, no he podido probar 2). Desde $\mathcal{H}$ es por supuesto un espacio de Hilbert y yo no uso ese hecho para demostrar 1), probablemente debería utilizar aquí.

Esto significa que $A$ $B$ son también completa. Dado que algunos convergente secuencia en la $A \oplus B$, quiero mostrar que el límite es también en $A \oplus B$. Aquí estoy atascado. Quiero usar la integridad de $A$$B$, pero no veo cómo obtener adecuados secuencias de Cauchy.

Puede alguien me cae una sugerencia? O es mi enfoque de todo mal?

Answer 1

Si $(a_n+b_n)_n$ es una secuencia de Cauchy en $A\oplus B$ ($a_n\in A, b_n\in B$), entonces la identidad $$\langle a_n+b_n-(a_m+b_m),a_n+b_n-(a_m+b_m)\rangle = \langle a_n-a_m,a_n-a_m\rangle+\langle b_n-b_m, b_n - b_m\rangle$ $ (lo que sigue por la ortogonalidad de $A,B$) implica que el $(a_n)_n$, $(b_n)_n$ son secuencias de Cauchy en $A$, $B$ respectivamente. Por lo tanto convergen a un $a\in A$ y $b\in B$, respectivamente, dónde se cierra $a_n+b_n\rightarrow a+b\in A\oplus B$, que $A\oplus B$.

El mismo argumento también funciona al revés.