Significado de $~\sum_\text{cyclic}$ ?

Question

¿Qué hace $~\sum_\text{cyclic}$ ¿quieres decir? Lo vi en esta pregunta : Probando $~\sum_\text{cyclic}\left(\frac{1}{y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{1-yz}\right)\geq 9$

Pregunta anexa: Gracias @A.G por enviar este enlace .

¿Qué significa "Tenga en cuenta que no se utilizan todas las permutaciones de las variables; sólo se recorren"? ¿En qué se diferencian todas las permutaciones de las variables de lo que se supone que significa "recorrer"? La suma de todas las permutaciones de valores que se pueden asignar a las variables debe ser la misma, al menos en el caso finito.

Answer 1

Hay seis permutaciones de las variables $(x, y, z)$ , a saber $(x, y, z)$ , $(x, z, y)$ , $(y, x, z)$ , $(y, z, x)$ , $(z, x, y)$ et $(z, y, x)$ .

Hay tres permutaciones cíclicas de las variables $(x, y, z)$ , a saber $(x, y, z)$ , $(y, z, x)$ et $(z, x, y)$ .

Así que la suma de la expresión $(x - y)^z$ sobre todas las permutaciones viene dada por

$$(x - y)^z + (x - z)^y + (y - x)^z + (y - z)^x + (z - x)^y + (z - y)^x$$

mientras que la suma de la expresión $(x - y)^z$ sobre todas las permutaciones cíclicas viene dada por

$$(x - y)^z + (y - z)^x + (z - x)^y.$$

Nótese que las dos sumas no son iguales; la primera contiene más sumandos ya que hay más permutaciones que permutaciones cíclicas (es decir, no toda permutación es una permutación cíclica, por ejemplo $(x, z, y)$ es una permutación de $(x, y, z)$ pero no una permutación cíclica).

Answer 2

Si está familiarizado con el álgebra abstracta, éste es un caso especial de una noción más general.

Supongamos que tenemos un grupo finito $G$ actuando en un espacio $X$ y una función $f\colon X\to {\bf R}$ (aquí se puede poner cualquier grupo abeliano). Entonces se puede considerar la suma sobre $G$ : $\sum_{g\in G} f\circ g$ . Se trata de un caso especial en el que $X={\bf R}^3$ y $G={\bf Z}_3$ actúa permutando cíclicamente (de ahí el nombre) las coordenadas, que son $x,y$ y $z$ en la pregunta que has enlazado. El caso diferente al que se refiere el enlace es si hubieras tomado en su lugar $G=S_3$ (el grupo de permutación completo).

Con frecuencia, esta operación va acompañada de un promedio, por lo que tomamos en su lugar $\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{g\in G} f\circ g$ . Nótese que el resultado de esta operación es invariante bajo la acción de $G$ y puede considerarse una proyección de $f$ en el espacio de $G$ -funciones invariantes (porque no cambia $f$ lo fue $G$ -invariante para empezar).

Más generalmente, si se tiene un grupo posiblemente infinito $G$ con una medida invariante finita suficientemente agradable $\mu$ se puede hacer el mismo truco mirando $\frac{1}{\mu(G)}\int_{G}f\circ g\,\textrm{d}\mu(g)$ , dando lugar de nuevo a una función invariante. En el caso de grupos finitos esta $\mu$ es sólo la medida de recuento. Este tipo de promedio es una idea muy útil en diversos contextos.