SVD: prueba de la existencia

Question

Estoy leyendo "Numerical Linear Algebra" de Lloyd Thefethen. Para la prueba de existencia de la descomposición del valor singular comienza así: "Conjunto $\sigma_1=||A||_2$ . Por un argumento de compacidad, debe haber vectores $ v_1 \in C^n$ y $u_1 \in C^m$ con $||v_1||_2=||u_1||_2=1$ y $Av_1=\sigma_1u_1$ ." ¿Qué significa exactamente "por un argumento de compacidad"? Entiendo que debe tener algo que ver con la compacidad topológica, pero ¿cómo?

Answer 1

Dejemos que $S = \{x \in \mathbb C^m \mid \|x \|_2 = 1 \}$ . Entonces $\|A\|_2 = \sup_{x \in S} \|Ax\|_2$ .

Pero la función $f:S \to \mathbb R$ definido por $f(x) = \|Ax\|_2$ es continua, y $S$ es compacto, por lo que (por la teorema del valor extremo ) $f$ alcanza un valor máximo en algún momento $v_1 \in S$ .