¿Es continuo cada monótono función aditivo $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$?

Question

Vamos a una función de $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene las dos propiedades siguientes:

(1) Para todos los $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tal que $x_1 < x_2$, tenemos $$f \left( x_1 \right) \leq f \left( x_2 \right). $$

(2) Para todas las $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, tenemos $$f \left( x_1 + x_2 \right) = f \left( x_1 \right) + f \left( x_2 \right). $$

Es una función de $f$ continua en cada punto de $c$$\mathbb{R}$?

Mi Esfuerzo:

Podemos demostrar que para todo número racional $q$, tenemos $$ f(q) = q f(1). $$

Como $f$ es monótona (creciente), por lo que el conjunto de puntos de discontinuidad de la $f$ es en la mayoría de los contables.

Cómo proceder a partir de aquí?

Si pudiéramos demostrar que $f$ es continua en cada punto racional $c \in \mathbb{Q}$, $f$ también sería continua en cada punto de $\mathbb{R}$. Estoy en lo cierto?

¿Qué es lo siguiente?

Contexto:

Seg 5.6 (de hecho, inmediatamente después de que el Teorema de 5.6.4) en el libro Introducción Al Análisis Real por Robert G. Bartle Y Donald R. Sherbert, 4ª edición.

Answer 1

Si $x$ es un número irracional, vamos a $r_n$ ser racionales de que el enfoque de $x$ de los de abajo. Entonces como $x>r_n$, la monotonía de la propiedad $(1)$ $f$ da

$$f(x) \ge f(r_n) = r_n f(1) \to x f(1),$$

so we conclude $$f(x) \ge x f(1),$$ and similarly, using rationals that approach $x$ from above, $f(x) \le xf(1)$. Hence, $$f(x) = xf(1) \quad \forall x\in\mathbb R.$$

(edición) tomo nota de que las partes relevantes del libro,

y,

parece que $(a)$ leído mal el libro, que dice que sólo se necesita para probar la continuidad en one punto, y $(b)$ quieres una prueba de que la primera prueba de continuidad y, a continuación, apelaciones para el resultado conocido(Ejercicio 5.2.12), es decir, que una función con la propiedad $(2)$ que también es continua en un punto es de la forma $cx$. Pero como se mostró, sólo hay countably muchas discontinuidades, y $\mathbb R$ es incontable. Por lo $f$ es continua en algún lugar, y ya estamos por hacer.

Como observación final, tenga en cuenta que la continuidad en un punto de $x$ implica inmediatamente la continuidad en cualquier otro punto de $y$, ya que si $y_n\to y$ $x_n := y_n - y + x \to x$ y la propiedad aditiva $(2)$ implica que $$ f(y_n) = f(x_n) + f(y) - f(x) \to f(y).$$ Therefore the known result used above follows from the basic result for continuous functions with property $(2)$.

Answer 2

Que $f$ ser continuo en $0$. Desde $f(x+y) = f(x)+f(y)$. Que $x_n \rightarrow c$. Ahora es continuo en $f(x_n-c) = f(xn)+f(-c)$, $f$ $0$ por lo tanto como $\lim{n \rightarrow \infty } f(xn-c) = f(0)$. Por lo tanto, $\lim{n \rightarrow \infty } f(xn-c) - f(-c)= \lim{n \rightarrow \infty } f(x_n) = f(0)-f(-c) = f(c)$. Por lo tanto es secuencialmente continua.