Existencia del vector que descompone la traza de la matriz diagonal y simétrica

Question

Pregunta: Supongamos que $\Lambda$ es un $N × N$ r y $Q$ es simétrico real. Supongamos que $tr\ \Lambda \neq 0$ et $tr\ Q \neq 0$ . Demostrar que existe un vector $v \in \mathbb{R}^N$ tal que $$v^T\Lambda v = tr\ \Lambda, v^TQv = tr\ Q $$

Mi pensamiento:

Descomponer el $\Lambda$ como $\Lambda = U^T\Lambda U, \ \forall\ U^TU = I $ y $Q = U^T\Lambda_1 U$ .

Así que $$v^T\Lambda v = (Uv)^T\Lambda (Uv)= tr\ \Lambda$$ y $$v^TQ v = (Uv)^T\Lambda_1 (Uv) = tr \ Q = tr\ \Lambda_1$$ Intuitivamente,la estructura es la misma por lo que podrían conservar la misma propiedad. Pero, ¿cómo podría demostrar la $v$ en dos fórmulas es el mismo?

¿Alguien podría ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

La suposición de que $\Lambda$ es diagonal es una simplificación prematura. Podemos suponer que $\Lambda$ es simétrico real. Además, escalando $\Lambda$ y $Q$ si es necesario, podemos suponer que ambas matrices tienen trazas $1$ . Así pues, queremos resolver $v^T\Lambda v=v^TQv=1$ cuando $\Lambda$ y $Q$ son matrices simétricas reales de trazas $1$ .

Sea $D=\Lambda-Q$ . Por un cambio de base ortonormal, podemos suponer que $D$ es una matriz diagonal sin trazas. Sea $S\subset\mathbb R^N$ es el conjunto de todos los vectores cuyas entradas pertenecen a $\{-1,1\}$ . Entonces $\frac1{2^N}\sum_{v\in S}v^TQv=\operatorname{tr}Q>0$ y por lo tanto $v^TQv>0$ para algunos $v\in S$ . Desde $D$ es una matriz diagonal sin traza, también tenemos $v^TDv=\operatorname{tr}D=0$ .

Por lo tanto $v^T\Lambda v=v^T(Q+D)v=v^TQv>0$ . Ahora podemos escalar $v$ hacer $v^T\Lambda v=v^TQv=1$ .