Extensión de los ideales semiprimos

Question

Dejemos que $I_0 I $ sean ideales de un anillo $R$ con $1$ tal que $I/I_0$ es un ideal semiprimo de $R/I_0$ . ¿Es un hecho que $I$ es semiprima en $R$ ? Tengo un argumento para esto, pero no estoy seguro de su validez.

Por el teorema (10.11) de "A First Course in Noncommutative Rings, T.Y. Lam", $$I/I_0=_i Q_i/I_0,$$ donde $Q_i$ son ideales primos de $R$ que contiene $I_0$ . Ahora, tenemos $$x\in I x+I_0\in _i Q_i/I_0 x\in _iQ_i $$ para todos $i$ lo que significa que $I$ es semiprima, por el mismo teorema.

Gracias por las respuestas.

Answer 1

Sí.

Dicho de otro modo, los principales ideales de $R$ que contiene $I$ corresponden exactamente a los ideales primos de $R/I_0$ que contiene $I/I_0$ . El isomorfismo de red entre ideales de $R$ que contiene $I_0$ y los ideales de $R/I_0$ respeta todo, incluidas las intersecciones. Por lo tanto, tanto los ideales primos como los semipreciosos corresponden a ideales primos y semipreciosos, respectivamente.

Pero aún más simple, el tercer teorema de isomorfismo dice $(R/I_0)/(I/I_0)\cong R/I$ Así que $I$ es semiprima en $R$ si $I/I_0$ es semiprima en $R/I_0$ .