Si $5\sqrt [ x ]{ 125 } =\sqrt [ x ]{ { 5 }^{ -1 } } $ entonces $x$ es igual a $-4$

Question

Para la ecuación

$$5\sqrt [ x ]{ 125 } =\sqrt [ x ]{ { 5 }^{ -1 } } $$

$x$ es igual a $-4$ pero no estoy seguro de por qué.

He tomado el lado derecho de la ecuación ${ \left( \frac { 1 }{ 5 } \right) }^{ \frac { 1 }{ x } }$ y lo convirtió en $5^{-(1/x)}$ pero no he sido capaz de realizar la gimnasia matemática para demostrarlo.

Answer 1

Desde $125 = 5^3$ tenemos $$5 \cdot 5^{\frac{3}{x}} = \frac{1}{5^{\frac{1}{x}}} \Rightarrow 5^{1 + \frac{3}{x}} = 5^{-\frac{1}{x}}$$

Igualando las potencias se obtiene $1 + \frac{3}{x} = -\frac{1}{x} \Rightarrow x = -4$ .

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Algunas explicaciones:

Tenemos $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$ Esto se puede razonar así: $$a^b \cdot a^c = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{b \, \text{times}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{c \, \text{times}} = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{(b+c) \, \text{times}} = a^{b+c}$$ Esto da $5 \cdot 5^{3/x} = 5^{1 + 3/x}$ como prometí.

A continuación, tenemos $(a^b)^c = (a^c)^b = a^{bc}$ esto debería tener sentido si piensas que es $a^b$ multiplicados entre sí $c$ veces, lo que da un total de $a$ multiplicándose entre sí $bc$ veces, ya que $a^b$ est $a$ multiplicados entre sí $b$ veces. Simbólicamente $$(a^b)^c = \underbrace{a^b \cdot a^b \cdots a^b}_{c \, \text{times}} = a^{\overbrace{b + \cdots + b}^{c \, \text{times}}} = a^{bc}$$

Esto es lo que nos permite escribir $125^{1/x} = (5^3)^{1/x} = 5^{3/x}$ .

Debo insistir en que mis "explicaciones" son simplemente eso, explicaciones intuitivas, visuales y manejables, que no constituyen una prueba propiamente dicha (ya que estamos suponiendo implícitamente ). $a,b,c$ son números enteros (positivos), mientras que las reglas indicadas son válidas para real números.

Answer 2

$$5\cdot125^{\frac{1}{x}}=\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{x}}\Longleftrightarrow5\cdot125^{\frac{1}{x}}=\frac{1^{\frac{1}{x}}}{5^{\frac{1}{x}}}\Longleftrightarrow5\cdot125^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{5^{\frac{1}{x}}}\Longleftrightarrow$$

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Uso (solución real) $5^y=125\Longleftrightarrow y=\log_5(125)=3$ :

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$$5\cdot(5^3)^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{5^{\frac{1}{x}}}\Longleftrightarrow5\cdot5^{\frac{3}{x}}=\frac{1}{5^{\frac{1}{x}}}\Longleftrightarrow5^1\cdot5^{\frac{3}{x}}=\frac{1}{5^{\frac{1}{x}}}\Longleftrightarrow$$ $$5^{1+\frac{3}{x}}=\frac{1}{5^{\frac{1}{x}}}\Longleftrightarrow5^{1+\frac{3}{x}}\cdot5^{\frac{1}{x}}=1\Longleftrightarrow5^{1+\frac{1}{x}+\frac{3}{x}}=1\Longleftrightarrow$$ $$5^{1+\frac{4}{x}}=1\Longleftrightarrow\log_5\left(5^{1+\frac{4}{x}}\right)=\log_5(1)\Longleftrightarrow1+\frac{4}{x}=0\Longleftrightarrow x=-4$$