Distancia de un punto de prueba desde el centro de un elipsoide

Question

Estoy tratando de aprender acerca de Mahanalobis distancia y estoy muy cerca de conseguir la idea. He aprendido que la distancia tiene mucho que ver con las propiedades de un elipsoide. He comprendido hasta ahora que:

La distancia de Mahalanobis es simplemente la distancia del punto de prueba $\textbf{x}$ desde el centro de masa $\textbf{y}$ dividido por el ancho de la elipsoide en la dirección del punto de prueba y está dado por la fórmula:

$$D(\textbf{x},\textbf{y})=\sqrt{ (\textbf{x}-\textbf{y})^TC^{-1}(\textbf{x}-\textbf{y})} $$

Ahora mi pregunta es: "¿por Qué esta fórmula nos da la distancia de un punto a $\textbf{x}$ desde el centro de masa $\textbf{y}$ dividido por el ancho de la elipsoide en la dirección del punto de prueba?" =)

Yo no entender o ver cómo esta fórmula describe la distancia, podría alguien ayudar a explicar esta distancia más? Cómo es la llanura de la distancia de un punto de $\textbf{x}$ desde el elipsoide del centro de masa del $\textbf{y}$ en la dirección del punto de prueba y el porqué? =)

Espero que mi pregunta es bastante clara. Mi pregunta podría ser análogo con, por ejemplo, "¿por Qué no $c^2 = a^2 + b^2$" a Continuación, habría que probar esto a mí con una prueba geométrica o algo =)

Gracias por la ayuda =)

P. S. $C$ es la matriz de covarianza del vector de $\textbf{x} = (x_1, ..., x_n)$

más de referencia en la nota aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Mahalanobis_distance

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid#Generalised_equations

Answer 1

Me gustaría presentarles un geométrica ejemplo, fijar la notación y, a continuación, pasar a la Mahalonobis distancia (muy informal) de análisis.

• Elipsoide en $\mathbb R^{3}$: un ejemplo fácil

Vamos a presentar la definición geométrica de un elipsoide centrado en $y\in\mathbb R^{3}$, es decir, el lugar geométrico de los puntos $x\in\mathbb R^{3}$ satisfactorio

$$\langle(x-y),A^{-1}(x-y)\rangle=1.$$

Aquí $A$ es cualquier matriz positiva definida. Por ejemplo, si $A=diag\{a^2,b^2,c^2\}$, $x=(x_1,x_2,x_3)$ y $y=(y_1,y_2,y_3)$, entonces el elipsoide que estamos buscando es

$$\frac{x_1-y_1}{a^2}+ \frac{x_2-y_2}{b^2}+ \frac{x_3-y_3}{c^2}=1.$$

El parámetro $a$ controla la distancia entre el centro de la $y$ y el punto de $x$ a lo largo del 1er eje; consideraciones similares se mantenga por $b$$c$. Los ratios $\frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ $\frac{a}{c}$ determinar la "forma" ("oblatos", "alargados") de la elipsoide.

• Elipsoides y de la distancia de Mahalanobis en $\mathbb R^{n}$

La distancia de Mahalanobis

$$D(x,y)=\sqrt{\langle(x-y),C^{-1}(x-y)\rangle}$$

da, por definición, la distancia entre los vectores $x$ $y$ $\mathbb R^{n}$ de realizaciones de un determinado multivariante aleatoria proceso $X=(X_1,\dots,X_n)$. $C$ es (una estimación de) la matriz de covarianza. Buscando la fórmula para el geométrica ellipsiod, se puede identificar el vector aleatorio $y$ $D(x,y)$ con el centro del elipsoide definido por $D(x,y)=d$, para algunas de las $d>0$. Para ser muy preciso, debería llegar a las $D(x,y)=1$ dividiendo el inverso $C^{-1}$ de la matriz de covarianza por $d^2$.

• En la segunda pregunta

La frase "la distancia de Mahalanobis es simplemente la distancia del punto de prueba desde el centro de la masa dividida por el ancho de la elipsoide en la dirección del punto de prueba." puede ser entendido con una versión simplificada de la exposición.

Mantengamos el anterior conjunto: $x$ es un vector aleatorio de las realizaciones de la multivariante aleatoria proceso de $X=(X_1,\dots,X_n)$. Vamos a presentar el vector $s=(s_1,\dots,s_n)$ de la normalización de las variables

$$s_i:=\frac{x_i-\mu_i}{\sigma_i},$$

denotando por $\mu_i$ la media de las realizaciones de la $i$-ésimo proceso aleatorio $X_i$ y $\sigma_i$ de su varianza. Consideremos la distancia de Mahalanobis de un vector $x$ desde el centro de la $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_n)$, es decir,

$$D(x,\mu)=\sqrt{\langle (x-\mu),C^{-1}(x-\mu) \rangle }, $$

donde la matriz de covarianza es la matriz diagonal $C=\{\sigma^2_1,\dots,\sigma^2_n\}$. Entonces

$$D(x,\mu)=\sqrt{\langle s,s\rangle } ,$$

por la construcción. Como en la geometría del ejemplo anterior, la varianza $\sigma_i$ en $C=\{\sigma^2_1,\dots,\sigma^2_n\}$ controles de la "forma" (o ancho) de la elipsoide definido por la distancia de Mahalanobis a lo largo de la $i$th-eje.