Puntos integrales en una curva elíptica

Question

Empecemos con una curva elíptica de la forma $$E : y^2 = x^3 + Ax + B, \qquad A, B \in \mathbb{Z}.$$ Me pregunto sobre los puntos integrales. Sé que Siegel demostró que $E$ sólo tiene un número finito de puntos integrales. Sé que Nagell y Lutz demostraron que cada punto no $\mathcal{O}$ El punto de torsión tiene coordenadas que son enteras.

¿Alguno de ustedes puede decirme algo más que debamos saber? Estas son algunas preguntas que se me han ocurrido pero si hay alguna otra cosa interesante me encantaría saberla. Las respuestas a cualquiera de ellas serían geniales.

1. ¿Podemos decir algo interesante sobre los puntos integrales sin torsión? (No tengo una idea de lo que significa "interesante" exactamente, tal vez están en una forma de tipo o relacionados con los puntos de torsión de alguna manera)
2. ¿Existen límites para el número de puntos de la integral o para el más grande?
3. ¿Lleva la gente un registro de los puntos más integrales o más grandes?
4. Si es así, ¿alguna idea de cuáles son estos registros?
5. ¿Algo más?

Gracias

Answer 1

Como sabes, tu curva puede tener infinitos puntos racionales. Ahora supongamos que tiene un punto racional $(r/t,s/t)$ Así que $s^2/t^2=r^3/t^3+Ar/t+B$ Así que $(st^2)^2=(rt)^3+At^4(rt)+Bt^6$ Así que $(rt,st)$ es un punto integral en la curva elíptica $y^2=x^3+A'x+B'$ . De ello se deduce que no existe un límite finito para el número de puntos integrales en una curva elíptica. Esto sugiere que cuanto más grandes sean los coeficientes, más puntos integrales son posibles.

Una cuestión relacionada que puede interesarle es la del rango de su curva, el número de generadores independientes del grupo de puntos racionales. Se cree, pero creo que no se ha demostrado, que el rango es ilimitado, pero es difícil encontrar ejemplos con un rango grande (donde grande podría significar más de 20), y la gente se esfuerza por establecer nuevos récords. Según Wikipedia, se conocen curvas con un rango de al menos 28.

Answer 2

Existen límites para el tamaño de los puntos integrales en una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$ . Por ejemplo, está el famoso resultado de Baker de que si $A, B, C, D \in \mathbb{Z}$ son tales que $\max{ \{|A|, |B|, |C|, |D| \} } \leq H$ entonces cualquier punto integral $(x, y) \in E(\mathbb{Q})$ satisface

$$\max{ \{ |x|, |y| \} } < e^{(10^6 H)^{10^6}}$$

donde $E: Y^2 = AX^3 + BX^2 + CX + D$ Esto es una cita del teorema 5.4 del capítulo IX del libro de Silverman La aritmética de las curvas elípticas .

También del libro de Silverman, hay una conjetura 7.4 en ese mismo capítulo que dice lo siguiente.

(Conjetura de Hall-Lang) Existen constantes $C$ y $r$ tal que para cada curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ con la ecuación de Weierstrass

$$Y^2 = X^3 + AX + B$$

donde $A, B \in \mathbb{Z}$ y para cada punto integral $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ con $(x, y) \in E(\mathbb{Q})$ se cumple la siguiente desigualdad

$$|x| \leq C (\max{ \{ |A|, |B| \} })^r$$

En el capítulo IX del libro de Silverman se puede encontrar mucha información realmente interesante.

Answer 3

El punto más importante a tener en cuenta sobre los puntos integrales es que el conjunto de puntos integrales es no es una propiedad de la curva elíptica sino del modelo específico de Weierstrass. Si $(x,y)=(n,m)$ es una solución integral de $y^2=x^3+Ax+B$ entonces para cualquier $t\in \mathbb{N}$ la sustitución $(x',y')=(t^2x,t^3y)$ da un nuevo modelo de Weierstrass de la misma curva elíptica pero este nuevo modelo tendrá el punto integral $(t^2n,t^3m)$ . Así que la búsqueda de registros no sólo no tiene sentido si se permite que la curva varíe, sino que ni siquiera tiene sentido en una curva elíptica fija.

Qué es una cuestión de investigación que merece la pena es encontrar límites óptimos para las alturas de las soluciones integrales en una ecuación de Weierstrass dada. Ese es todavía un área de investigación activa. Si se tiene eso, se puede empezar con los generadores del grupo Mordell-Weil y seguir multiplicándolos hasta superar el límite. Esto da un método eficaz para encontrar todas las soluciones integrales (siempre que puedas encontrar los generadores del grupo Mordell-Weil). A veces, métodos mucho más elementales también te llevan hasta allí, ver por ejemplo Respuesta cooperativa de Adrián y mía a una pregunta similar. Tales métodos elementales motivan el estudio de los grupos de clases ideales y unidades en anillos de enteros de campos numéricos.