¿Es posible para una serie de energía de la forma $\sum a_{n}x^{n}$ convergencia condicional en ambos de sus extremos?

Question

He estado pensando en esto por un tiempo y no han sido capaces de llegar a un ejemplo que se ajusta a este caso concreto. Cuando estaba trabajando en esto había intentado considerar primero el caso más sencillo posible donde los extremos son uno y uno negativo. En este caso uno encontraría que $\sum a{n}$ y $\sum (-1)^{n}a{n}$ debe condicional ambos confluyen para que esto sea cierto. Sin embargo, estoy teniendo problemas para encontrar a cualquier tipo de $a_{n}$ que hace esto realidad. Se agradecería cualquier consejos o sugerencias.

Answer 1

Wikipedia menciona una interesante serie debido a Sierpinski con una propiedad más fuerte: $$\sum_{i=1}^{\infty} a_i x^i, \quad \text{where} \quad a_i = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n n} \; \text{if} \; 2^{n-1} \le i