$G$ Sea un grupo cíclico localmente , entonces es cierto que $\operatorname{Aut}(G)$ es abeliano? Sé que $G$ tiene que ser abelian pero yo no puedo decidir por $\operatorname{Aut}(G)$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mr Rowing
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No sé si hay una buena manera de hacer esto. Aquí una buena manera.
Comenzar con las observaciones 1) localmente un grupo cíclico es de torsión o con torsión libre, y 2) cada automorphism de un grupo de ascensores de un automorphism de su inyectiva casco. El punto 2) es que significa que puede obtener nuestro resultado demostrando automorphism grupos de inyectiva cascos de local cíclico grupos abelian.
Considerar la torsión gratuita de su caso. A continuación, $G$ incrusta en $\mathbb{Q}$ (este es un buen argumento y no es difícil: pick $g \in G\setminus \{e\}$ y el mapa a 1, entonces para cualquier $h \in G$ tenemos $nh=mg$ algunos $n,m\in\mathbb{Z}$ locales ciclicidad de modo mapa de $h\mapsto m/n$, los detalles se dan aquí http://groupprops.subwiki.org/wiki/Equivalence_of_definitions_of_locally_cyclic_aperiodic_group). Su casco es inyectiva, a continuación,$\mathbb{Q}$, por lo que su automorphism grupo $\mathbb{Q}^*$ es abelian.
Ahora vamos a $G$ ser de torsión. A continuación, $G$ es un producto directo de local cíclico $p$-grupos, uno para cada uno de los prime $p$ (contenida en http://groupprops.subwiki.org/wiki/Equivalence_of_definitions_of_locally_cyclic_periodic_group). Su casco es inyectiva entonces restringido por un producto directo de Prüfer grupos $\mathbb{Z}(p^\infty)$, en la mayoría de los una para cada uno de los prime. El automorphism grupo de la inyectiva casco es el producto de la automorphism grupos de factores, que son los invertible $p$-ádico enteros, lo abelian.
Este problema es el Ejercicio 113.2 p.254 en Fuchs Infinito Abelian Grupos vol. 2.
