Si f es sobreyectiva y g es inyectiva, ¿cuál es $f\circ g$ y $g\circ f$?

Question

¿Decir que tengo $f=x^2$ (sobreyectiva) y $g=e^x$ (inyectiva), lo que le $f\circ g$ y $g\circ f$ ser? (inyectiva o subjetivo?)

$f$ Y $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

He graficar estas utilizando Maple pero no sé cómo escribir la prueba, por favor me ayude!

Answer 1

Ejemplos a tener en cuenta para preguntas como esta:

• Tomar $X = \{1\}$, $Y = \{a,b\}$, $Z =\{\bullet\}$. Deje $f\colon X\to Y$ ser dado por $f(1)=a$, e $g\colon Y\to Z$$g(a)=g(b)=\bullet$.

  A continuación, $g\circ f\colon X\to Z$ es bijective; tenga en cuenta que $f$ es inyectiva pero no surjective, y que $g$ es surjective pero no inyectiva. Así, la inyectividad de la función de composición no puede decirnos nada acerca de la inyectividad de la última función a aplicar; y surjectivity de la función de composición no puede decirnos nada acerca de surjectivity de la primera función a aplicar.

• Como en el anterior, pero ahora tomar $Y = \{a,b\}$, $Z=\{\bullet\}$, y $W=\{1,2\}$. Deje $g\colon Y\to Z$ ser dado por $g(a)=g(b) = \bullet$, e $h\colon Z\to W$ ser dado por $h(\bullet) = 1$. A continuación, $h\circ g\colon Y\to W$ mapas tanto en$a$$b$$1$. Tenga en cuenta que $g$ es surjective, $h$ es inyectiva, pero $h\circ g$ es ninguno de los dos. Así: surjective seguido por inyectiva podría ser ninguno de los dos.

Jugando con ejemplos similares mostrará que inyectiva seguido por surjective también puede ser ninguno de los dos. Por ejemplo, modificar el primer ejemplo de arriba un poco, dicen $Y = \{a,b,c\}$, $Z = \{\bullet,\dagger\}$, $f\colon X\to Y$ dada por $f(1)=a$, $f(2)=b$ (inyectiva), y $g\colon Y\to Z$ dada por $g(a)=g(b)=\bullet$, $g(c)=\dagger$ (surjective). Es $g\circ f$ inyectiva? Es surjective?

Answer 2

Cuando escribe$x$ en$f(x)=x^2$, es una "variable ficticia" en el sentido de que puede poner algo en el rango apropiado (aquí presumiblemente los números reales). Asi que $f(g(x))=(g(x))^2$. Luego puede expandir el lado derecho insertando lo que sabe acerca de$g(x)$. Obtener$g(f(x))$ es similar. Luego, para la parte inyectiva / surjective, podrías ver esta pregunta

Answer 3

Debe especificar los dominios y codominios de sus funciones. Supongo que$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{\geq 0}$ y$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, pero hay otras definiciones naturales que podrías hacer. Puede escribir las composiciones explícitamente:$f\circ g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{\geq 0}$ tiene$x\mapsto (e^x)^2=e^{2x}$. Esto es inyectivo (ya que$x\mapsto e^x$ es inyectiva) y no surjective, ya que 0 no está en la imagen. $g\circ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$x\mapsto e^{x^2}$ no es ni inyectiva ni surjective.