Suma de series divergentes

Question

He visto un montón de artículos en Math SE como ¿Por qué 1+2+3+=1/12? y S=1+10+100+100+10000+…=1/9? ¿Cómo es eso? y muchos otros. También vi este de Suma de Ramanujan pero no entiendo la contradicción.

No quiero explicar como se calcula la suma de dichas series ya que leí estos artículos pero quiero una explicación de la lógica de estas series.

• ¿Son estos resultados contradictorios?
• ¿Dónde está la lógica de estas series?
• ¿Cómo es que la suma de infinitos números positivos es igual a uno negativo?
• ¿Es el problema del infinito $\infty$ ?
• Si alguien utiliza este resultado entonces este alguien puede crear un montón de resultados absurdos ( $1=0$ ), ¿cómo explicar esto, por favor?

Le agradezco su ayuda. Gracias.

Answer 1

L. Euler explicó sus hipótesis sobre las series infinitas - convergentes o divergentes - con la siguiente idea (sólo parafraseo, no tengo el artículo a mano, pero se puede mirar en los archivos de Euler el tratado "De series divergentibus"): La evaluación de una serie infinita es diferente a la de una suma finita. Pero siempre que queramos asignar un valor a una serie de este tipo debemos hacerlo en el sentido de que es el resultado de una operación aritmética aplicada infinitamente - de modo que la serie geométrica (a la que mientras tanto asignamos un valor) se produce como resultado de la división larga formal infinita $s(x) = {1 \over 1-x } \to s(x) = 1 + x + x^2 + ... $ y luego insertar el valor de $x$ en la fórmula racional finita.

Posiblemente esto se entienda en el sentido de que, de forma similar, podemos hablar de fracciones continuas periódicas infinitas como representaciones de expresiones finitas como $\sqrt{1+x}$ y otros. Es "compatible" de alguna manera con un axioma, que requerimos para la teoría de números que podamos tener una representación de forma cerrada para la operación algebraica general infinitamente repetida (simbólica). (en la traducción alemana de E247 esto ocurre en §11 y §12)

A partir de esto, creo que, por ejemplo, la suma de Euler y otras manipulaciones sobre infinitos (convergentes y divergente) de L. Euler puede entenderse bien.

[Actualización] Los archivos de Euler parecen haberse trasladado a MAA; los enlaces originales, por ejemplo //www.eulerarchive.com/ están ocupados por algunos comerciales completamente no relacionados. Un enlace aparentemente válido a la columna de Ed Sandifer "Cómo lo hizo Euler", sin embargo sólo accesible a través del acceso interno de MAA es este (pero creo que a través de webarchive.org todavía se puede acceder a las antiguas páginas disponibles en abierto)

[actualización 2]: aquí hay un enlace actualmente válido para Artículo de Ed Sandifer

Answer 2

Tengo una nueva idea.

La suma de los números naturales es $$ S_n = \sum_{k=1}^n k. $$ Definimos la función $$ G_n(\epsilon) = \sum_{k=1}^n k \exp(-k\epsilon). $$ La suma de Abel es $$ S_A = \lim_{\epsilon \to 0+} \left( \lim_{n \to \infty} G_n(\epsilon) \right). $$ Desgraciadamente, es divergente.

A continuación, definimos una nueva función $$ H_n(\epsilon) = \sum_{k=1}^n k \exp(-k\epsilon) \cos(k\epsilon). $$ La función es amortiguada y oscilante. La suma de la oscilación amortiguada es $$ S_H = \lim_{\epsilon \to 0+} \left( \lim_{n \to \infty} H_n(\epsilon) \right). $$ Sorprendentemente, converge en -1/12.

Podemos confirmar el resultado mediante el cálculo numérico. Introduzca la siguiente fórmula en la página de Wolfram Alpha.

lim sum k exp(-kx)cos(kx),k=1 a infty,x a 0+

O haga clic en la siguiente URL con la fórmula anterior, por favor.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+sum+k+exp%28-kx%29cos%28kx%29%2Ck%3D1+to+infty%2Cx+to+0%2B

Podemos encontrar el documento buscando las siguientes palabras clave.

Regularización de la función zeta de la suma de todos los números naturales por el método de la suma de la oscilación amortiguada

Answer 3

• Los resultados son generalmente contradictorios si se intenta manipular los resultados, y hay ciertas propiedades que estos resultados intentan mantener, y si se juega demasiado con ellos, se pueden perder ciertas propiedades, incluyendo la regularidad, la linealidad, la estabilidad y la reindexación finita.
• La lógica detrás de estas series que producen resultados que generalmente no tienen sentido ocurre porque hemos desarrollado fórmulas, resultados y métodos para encontrar resultados que tener sentido cuando pueden tener sentido. Entonces alguien decidió "oye, esto no parece una idea lógica, pero ¿por qué no aplico estas ideas a cosas en las que no debería funcionar?". Y entonces, bueno, ya sabes... Y entonces nos quedamos en plan "vaya, estos resultados coinciden con otros que no tienen sentido, así que supongo que si un resultado es correcto, ese resultado también debe serlo, y también el siguiente... aunque ninguno de ellos debería tener sentido en absoluto..."
• Como dijo una vez un sabio, la suma divergente infinita puede hacer algunas cosas de polos analíticos, produciendo así resultados ilógicos como un montón de números positivos que suman números negativos, cosas que realmente no entiendo.
• El problema con el infinito es lo del polo analítico...
• Los resultados pueden producir cosas Impares, como dije, por la forma en que se intenta manipular el resultado y la suma, menciono las propiedades en el primer punto.

Espero haber contribuido y, como dijo una vez mi profesor, "Espero que hoy te vayas más cómodamente confundido que ayer".