Topología débil y fuerte en espacios de dimensión infinita

Question

¿Hay algún ejemplo sencillo para demostrar que la topología débil y fuerte en un espacio de dimensión infinita no tienen por qué coincidir? Tengo varias ideas utilizando las diferencias en la convergencia débil y fuerte de las medidas de probabilidad (por ejemplo, el teorema central del límite), pero estoy buscando alguna $l^p$ ejemplo.

Answer 1

En la topología débil de $X$ nidad básica de $0$ viene dado por un conjunto de la forma $$ \{x\in X : |x_1^*(x)|,\ldots, |x_n^*(x)|<\epsilon \} $$ para algunos $\epsilon>0$ y algún conjunto finito de elementos $x_1^*,\ldots, x_n^*$ en $X^*$ .

Por tanto, un conjunto débilmente abierto que contenga $0$ contiene el conjunto $I=\cap_{i=1}^n\text{ker}(x_i^*)$ para un conjunto finito de elementos $x_1^*,\ldots, x_n^*$ en $X^*$ . Si $X$ es de dimensión infinita, entonces $I$ es un subespacio de $X$ de co-dimensión finita.

De ello se deduce que hay conjuntos fuertemente abiertos que no son débilmente abiertos (como la bola unitaria abierta de $X$ ).