Volumen delimitado por la esfera #% cilindro y $x^2+y^2+z^2=a^2$ #%

Question

¿Cuál es el volumen limitado por la esfera $x^2+y^2+z^2=a^2$ y el cilindro $x^2+y^2=a|x|$?

La respuesta puede ser el valor $a$ (o $r$). ¿Alguien sabe cómo hacerlo? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

La figura es simétrica, con un volumen igual de cada uno de los ocho octantes, así que nos centramos en el primer octante, y multiplicar por $8$. Vamos a trabajar en coordenadas cilíndricas. En ese caso, nuestra función es $z=\sqrt{a^2-r^2}$, y en nuestra región de integración está delimitado por

$$0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\\0\le r\le a\cos\theta$$

El volumen es entonces:

$$8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a\cos\theta}\int_{0}^{\sqrt{a^2-r^2}}rdzdrd\theta=8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a\cos\theta}r\sqrt{a^2-r^2}drd\theta=\frac{2a^3\pi}{3}$$

Recordemos que el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas es $rdzdrd\theta$. La integral anterior luego es evaluado por la sustitución de $x=a^2-r^2$.

Aviso de que nuestra respuesta es la mitad del volumen de la esfera, para que haya una igualdad de volumen dentro del cilindro limitado por la esfera, ya que hay fuera del cilindro limitado por la esfera.

Answer 2

Me parece disagre con el cálculo de la integral en la respuesta de Jared, hice el integral a mano y con Mathematica y me sale el siguiente.

$$ 8\int_0 ^ {\frac {\pi} {2}} \int^{a\cos(\theta)} r\sqrt _0 {un ^ 2 r ^ 2} d\theta dr = \frac{4}{9} a ^ 3 (\pi 3 -4) $$