¿Cómo determinaron las personas los valores de las funciones trigonométricas antes de las calculadoras, como por ejemplo. $ \sin 37^ \circ $ hasta cinco decimales? ¿Era posible encontrar eso antes de que se inventaran las series?
Respuestas
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Antes de los ordenadores, las funciones trigonométricas se buscaban en tablas. El cálculo de estas tablas suponía mucho trabajo, y a menudo las tablas se copiaban y reutilizaban durante siglos después de ser calculadas, hasta que finalmente se necesitaba más precisión y alguien tenía que volver a empezar desde cero.
Las herramientas básicas para construir tablas trigonométricas desde Hiparco hasta la era de los ordenadores eran fórmulas que permiten encontrar los valores de los ángulos menores si ya se conocen para los mayores. En particular, la fórmula del medio ángulo $$ \cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} $$
Entonces, a partir de $\cos 90^\circ=0$ se pueden encontrar sucesivamente los cosenos de $45^\circ$ , $22^\circ30'$ , $11^\circ15'$ y así sucesivamente, hasta un ángulo tan pequeño como quieras que sea tu precisión. Luego se obtienen los correspondientes senos mediante $\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta}$ .
A partir de ahí, puedes construir el valor de cada grado utilizando las fórmulas de adición de ángulos -- por ejemplo, los valores de $67^\circ 30'$ se puede obtener combinando los valores de $45^\circ$ y $22^\circ30'$ De este modo se pueden rellenar los huecos de la tabla, con la precisión que se desee, si se dispone de suficiente mano de obra.
(Los antiguos pensaban en términos de cuerdas en lugar de senos y cosenos, y su álgebra estaba configurada de forma ligeramente diferente, pero la idea básica es la misma).
Si se hacen medias puras, los valores de la base son senos de ángulos bastante torpes. Se desarrollaron varios trucos para evitarlo. Por ejemplo, en el año 1400, los matemáticos islámicos desarrollaron un método en el que primero se calcula el seno de $3^\circ$ exactamente (mi fuente no dice cómo, pero posiblemente utilizando las fórmulas de diferencia de ángulos en los senos y cosenos de $72^\circ$ y $60^\circ$ que se puede derivar considerando los pentagramas y los triángulos equiláteros, y luego dividiéndolos por la mitad dos veces). A partir de ahí, el seno de $1^\circ$ se encuentra resolviendo la ecuación cúbica $$ \sin 3^\circ = 3\sin 1^\circ - 4\sin^3 1^\circ$$ numéricamente, y luego puedes construir tu tabla trigonométrica en pasos de grados enteros como antes.
GenTiradentes
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También se puede calcular a partir de la serie. No es que esto sea mejor que la respuesta aceptada, pero sólo para completarla.
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#List_of_Maclaurin_series_of_some_common_functions
