Encontrar todos los números racionales $\frac p q$ tal que $0 < p < q$ son relativamente primeros y $pq=25!$

Question

Encontrar todos los números racionales $\frac p q$ tal que todos los a continuación de tres condiciones está satisfecho.

$$0

Mi intento

Lo que siento que la respuesta debe ser $\sum_{r=1}^{9}\binom{9}{r}$ he arreglado los 9 primos entre 1 y 25. pero no creo correcto.

todavía creo que estoy haciendo un error tonto. ¿Usted por favor me puede proporcionar la respuesta?

Answer 1

Primero encontramos el número de $(s,t)$ de la pares ordenados de enteros positivos tales que $s$ y $t$ son relativamente primeros y $st=25!$. Así que tenemos que decidir cuáles de los subconjuntos de $2^9$ $9$ prepara menos de $25$ a "dar" a $s$. Que determina totalmente $s$ y $t$.

Exactamente la mitad de estas opciones le darán $s\lt t$, por lo que el número de fracciones del tipo deseado es $2^8$.

Answer 2

• Observación 1: $25! = 2^{22} \cdot 3^{10} \cdot 5^6 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23$
• Observación 2: $m$ $n$ se compone de y sólo de estos factores. También, si un primer factor se divide $m$, no se puede dividir $n$. Por lo tanto, los factores que deben aparecer en grupos, en la que todos los números primos que están juntos.

El problema, por tanto, reduce a la partición de las 9 agrupaciones $ 2^{22}, 3^{10} , 5^6 , 7^3 , 11^2 , 13 , 17 , 19 , 23$ a $m$$n$.

Para cualquier grupo, hay dos opciones, que podía ser en $m$ o en $n$. Por lo tanto, hay $2^9$ maneras de separar de ellos.

¿Cómo podemos eliminar los casos en que $m > n$? Bueno, para cualquier par $(m, n)$ si $m > n$, la conmutación de ellos obtiene un par $(n, m)$ donde $n < m$. Por lo tanto, hay la mitad de todas las formas de dividir los números en la forma que queremos.

Eso sería lo $\frac{2^9}{2} = \boxed{2^8}$ maneras.