Mostrar que $\text{SO}(2)$ es compacto.

Question

Deje $\text{Mat}_2(\mathbb{R})$ el conjunto de $2\times 2$ real de las matrices con la topología obtenida por cuanto $\text{Mat}_2(\mathbb{R})$ como $\mathbb{R}^4$. Vamos $$\text{SO}(2)=\{A\in\text{Mat}_2(\mathbb{R}); A^TA=I_2, \det A=1\}$$ where $A^T$ denotes the transpose of $$, and $I_2$ is the $2\times 2$ matriz de identidad.

La topología de subespacio de $\text{SO}(2)$ se obtiene a partir de a$\mathbb{R}^4$, donde se identifica un $2\times 2$ matriz con un punto en $\mathbb{R}^4$ mediante el uso de la matriz de entradas como de las coordenadas. Visualización de $\text{SO}(2)$ como un subconjunto de a$\mathbb{R}^4$, es suficiente para demostrar que $\text{SO}(2)$ es acotado y cerrado en $\mathbb{R}^4$.

Yo era capaz de mostrar que $\text{SO}(2)$ está acotada. Para cualquier matriz $A\in\text{SO}(2)$, $|A|=\sqrt{2}$, utilizando la métrica Euclidiana de $\mathbb{R}^4$.

Quiero mostrar que la $\text{SO}(2)$ se cierra mostrando que $\mathbb{R}^4\setminus\text{SO}(2)$ está abierto. No estoy seguro de cómo empezar esto.

Además, tenemos: \begin{align*} A^T A\\ \\ =\begin{pmatrix} a_1 & a_3 \\ a_2 & a_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4\end{pmatrix}\\ \\ =\begin{pmatrix} (a_1)^2+ (a_3)^2 & a_1a_2+a_3a_4 \\ a_1a_2+a_3a_4 & (a_2)^2+(a_4)^2\end{pmatrix}\\ \\ =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{align*} y \begin{align*} \det{\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4\end{pmatrix}}\\ \\ =a_1a_4-a_2a_3=1. \end{align*}

Answer 1

Respuesta rápida: $\text{det}$ es continua y $Y = \{1\} \subset \mathbb{R}$ es cerrado, por lo $\text{SO}_{2} = \det^{-1}(Y)$ es demasiado cerrado.

Si prefiere mostrar $M_{2,2} \setminus \text{SO}_{4}$ está abierto, usted necesita: $$\forall A \in M_{2,2} \setminus \text{SO}_{2}, \,\, \exists \varepsilon > 0, \,\, \exists B \in M_{2,2} \setminus \text{SO}_{2}\,\, \text{s.t.} \,\,|B-A| < \varepsilon$$ Así que vamos a $A \in M_{2,2} \setminus \text{SO}_{2}$. $\det(A) \neq 1$. Desde $\text{det}$ es continuo, (tome $\varepsilon = |1-\det(A)|/2 := \eta$ en la definición): $$\exists \delta > 0 ,\,\,\forall B, |B-A| < \delta \implies |\text{det}(B) - \text{det}(A)| < \eta$$ Por lo tanto, en particular, $$|B-A| < \delta \implies \text{det}(B) \neq 1$$

A continuación, $\delta$ es el $\varepsilon$

Answer 2

Es más sencillo observar que<span class="math-container">$$SO(2)=\left{\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\,\middle|\,\theta\in\mathbb{R}\right}.$$Therefore, the map<span class="math-container">$$\begin{array}{rccc}f\colon&[0,2\pi]&\longrightarrow&SO(2)\&\theta&\mapsto&\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\end{array}$$</span>is surjective. Since it is also continuous and <span class="math-container">$ [$ 0,2\pi]$</span> is compact, <span class="math-container">$SO(2)</span> también es compacto.</span>

Answer 3

Se define una función continua <span class="math-container">$f : \text{Mat}_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^4$</span> <span class="math-container">$f(A) = (a_1^2 + a_3^2,a_1a_2 + a_3a_4,a_2^2 + a_4^2,a_1a_4 - a_2a_3)$</span>. Entonces

<span class="math-container">$$\text{SO}(2) = f^{-1}(1,0,1,1)$$</span>

que es cerrado por la continuidad de <span class="math-container">$f$</span>.

Answer 4

Para grupos como estos, el método más eficaz es simplemente darse cuenta de que está dada por ecuaciones algebraicas. Tenga en cuenta que la multiplicación de la matriz es un mapa de $\mathbb{R}^{n^2} \times \mathbb{R}^{n^2} \to \mathbb{R}^{n^2}$ dada por un polinomio en cada variable. Por definición, el mapa de $det: \mathbb{R}^{n^2} \to \mathbb{R}$ también está dada por un polinomio.

Por lo que las condiciones $AA^T-I=0$ e $det(A)-1=0$ cuenta $SO(2)$ como la puesta a cero de una colección de polinomios, y por lo tanto, el grupo está cerrado.

Uno puede utilizar este argumento para demostrar que $SO(n)$, $O(n)$, $SL(n)$, $SP(n)$, etc, son todos cerrados, incluso si el campo subyacente es $\mathbb{C}$