¿Cuál es la función de norma en$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_8)}$?

Question

Dado un número $z$ en el ring $\mathcal{O}$ de enteros algebraicos de $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ expresado como $a + b \zeta_8 + ci + d (\zeta_8)^3$, $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$, ¿cómo se calcula la norma de la función $N(z) \in \mathbb{Z}$?

Desde $$\zeta_8 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{-2}}{2}$$ and $$(\zeta_8)^3 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{-2}}{2}$$ is it strictly necessary to include $d$? (Estoy incluyendo sólo para dar una idea de lo que he pensado y probado).

En su respuesta al Señor el Rey la pregunta Es $(1+i)$ ramificados, $\mathbb{Q}(i,\sqrt{2})$?, El señor Sopa muestra que $(1 - (\zeta_8)^3)(1 + (\zeta_8)^3) = 1 + i.$

Por lo tanto, tiene sentido que en este ring $2$ debe tener una norma de $16$, $N(1 + i) = 4$ e $N(1 + (\zeta_8)^3) = 2$. Por un momento pensé que tal vez podría tomar sólo las normas de los intermedios de los anillos y los multiplicamos.

Que yo pensaba que era un plan razonable en cuenta el hecho de que no real, racional prime es inerte en $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_8)}$. Si un real, racional prime $p$ no dividida en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ o $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, entonces es congruente a $5 \bmod 8$, en cuyo caso se divide en $\mathbb{Z}[i]$. Obvio $2$ no es primo en cualquiera de estos anillos intermedios.

Lo que realmente me confunde aquí es averiguar cuándo agregar y cuando restar, por ejemplo, $N(1 + 2 \sqrt{-2}) = 9$ e $N(1 + 2 \sqrt{2}) = 7$ en el intermedio correspondiente anillos. Pero entonces, ¿qué acerca de los $(1 + 2 \sqrt{-2})(1 + 2 \sqrt{2}) = 1 + 2 \sqrt{2} + 8i +

No sé la norma de la función de "simple" cuártica suena como $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\root 4 \of 2)}$ o $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\root 4 \of 3)}$, así que agradecería una explicación de eso.

Pero mi principal pregunta aquí es: ¿qué es la norma de un número $z \in \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_8)}$?

Answer 1

Sólo se podía aplicar la definición de la Norma: se multiplican todos los conjugados.

Conjugados son obtenidos mediante la aplicación de automorfismos que se asignan $\zeta_8$ a números con el mismo polinomio mínimo de más de $\mathbb{Q}$, es decir, $\zeta_8^k$ con $k$ impar. En el caso de $\mathbb{Q}(\zeta_8)$, el automorphism grupo es isomorfo a Klein Cuatro grupo con los miembros:

• $\sigma_0\colon\ \zeta_8\mapsto\zeta_8$: Identidad;
• $\sigma_1\colon\ \zeta_8\mapsto\zeta_8^3$: Swaps $\zeta_8$ con $\zeta_8^3$ (conservando $\sqrt{-2}$), los cambios de signo de $\zeta_8^2=\mathrm{i}$;
• $\sigma_2\colon\ \zeta_8\mapsto\zeta_8^5$: Cambia de signo de $\zeta_8$ (conservando $\mathrm{i}$);
• $\sigma_3\colon\ \zeta_8\mapsto\zeta_8^7$: Complejo de conjugación (conservando $\sqrt{2}$).

Para $z=a+b\zeta_8+c\mathrm{i}+d\zeta_8^3$ obtenemos: $$\begin{align} \operatorname{N}(z) &= \sigma_0(z)\,\sigma_3(z)\,\sigma_1(z)\,\sigma_2(z) = |z|^2 |\sigma_1(z)|^2 = |z|^2 |\sigma_2(z)|^2 \\ \operatorname{N}(a + b\zeta_8 + c\zeta_8^2 + d\zeta_8^3) &= |a + b\zeta_8 + c\zeta_8^2 + d\zeta_8^3|^2 |a + d\zeta_8 - c\zeta_8^2 + b\zeta_8^3|^2 \\ &= |a + b\zeta_8 + c\zeta_8^2 + d\zeta_8^3|^2 |a - b\zeta_8 + c\zeta_8^2 - d\zeta_8^3|^2 \\ &= |(a + \mathrm{i} c)^2 - \mathrm{i} (b + \mathrm{i} d)^2|^2 \\ &= (a^2 - c^2 + 2bd)^2 + (b^2 - d^2 - 2ac)^2 \\ &= (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 - 2(ab + bc + cd - da)^2 \\ &= (a^2 - b^2 + c^2 - d^2)^2 + 2(ab - bc + cd + da)^2 \\ &= (a^2 + c^2)^2 + (b^2 + d^2)^2 + 4 (ad - bc)(ab + cd) \end{align}$$ Como se puede ver, las expresiones pueden ser reorganizadas para enfatizar algunas relaciones con la norma expresiones durante el intermedio de los campos de $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ e $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$.

Otros enfoques que evitar los números racionales se dan en otro hilo. Aplicado a $\mathbb{Q}(\zeta_8)$, podemos escribir $$\operatorname{N}(a + b\zeta_8 + c\zeta_8^2 + d\zeta_8^3) = \operatorname{Res}_X(X^4+1, a + bX + cX^2 + dX^3)$$ utilizando el polinomio resultantes, o $$\operatorname{N}(a + b\zeta_8 + c\zeta_8^2 + d\zeta_8^3) = \det(aI + bZ + cZ^2 + dZ^3) = \begin{vmatrix}a&-d&-c&-b\\b&a&-d&-c\\c&b&a&-d\\d&c&b&a\end{vmatrix}$$ utilizando el compañero de la matriz $Z=\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{smallmatrix}\right)$.