Un problema con círculos que tienen exactamente dos puntos de intersección

Question

Aquí hay un problema, que creo que es bien conocido o viene de un teorema, pero no puedo demostrarlo. Por favor, ayuda.

Dados tres puntos del plano: $P,Q,R$ . Cada uno de los círculos $A,B,C$ pasar por $P$ y $Q$ . La bisectriz del segmento $PQ$ se encuentra con $A$ en $A_1,A_2$ , se reúne $B$ en $B_1,B_2$ y se reúne $C$ en puntos $C_1,C_2$ . Demostrar que existe un punto $S\neq R$ , tal que los círculos $(A_1A_2R), ( B_1B_2R),(C_1C_2R)$ todos pasan por $S$ .

¡Por favor, ayuda! Gracias.

(Fuente: cuadriláteros cíclicos y círculos - círculos revisados)

Answer 1

Dejemos que $M$ sea el punto medio de $\overline{PQ}$ .

Ahora, $M$ se encuentra en la cuerda común (también conocida como eje radical ) de $\bigcirc A$ , $\bigcirc B$ , $\bigcirc C$ para que tenga la misma "poder" con respecto a cada uno. Calculando esa potencia a partir de las cuerdas a lo largo de la bisectriz perpendicular de $\overline{PQ}$ tenemos $$|A_1M||A_2M| = |B_1M||B_2M| = |C_1M||C_2M| \qquad(\;=|PM||QM|\;) \tag{$ \N - La estrella $}$$ Pero estos productos también dan el poder de $M$ con respecto a $\bigcirc RA_1A_2$ , $\bigcirc RB_1B_2$ , $\bigcirc RC_1 C_2$ Así que $M$ debe estar en su eje radical, también. Dado que $R$ es un punto de intersección de esas tres circunferencias (por lo tanto se encuentra en su eje radical), el eje radical debe contener una cuerda común para esas circunferencias, por lo tanto un segundo punto de intersección, $S$ . $\square$

Nota: La escritura $K_1$ y $K_2$ para las intersecciones de la circunferencia $K:=\bigcirc PQR$ con la bisectriz perpendicular de $\overline{PQ}$ vemos que podemos añadir $|K_1M||K_2M|$ a la igualdad $(\star)$ . En consecuencia, el eje radical del tres círculos a través de $R$ es de hecho el eje radical de cuatro círculos a través de $R$ , por lo que ese punto $S$ también debe estar en $K$ . Deducimos que $|RM||SM|=|PM||QM|$ , dando una forma de construir $S$ de $P$ , $Q$ y $R$ .

Answer 2

No creo que esto sea lo más elegante... pero...

WLOG dejar $P = (0,1), Q = (0,-1)$

$R = (r_x, r_y)$

Los centros de A,B, C se encuentran en la bisectriz de PQ (que es el eje x.)

Dejemos que $(a,0),(b,0),(c,0)$ sean los centros de los círculos $A,B,C$ respectivamente

$A_1 = (a + \sqrt{a^2+1}, 0)\\A_2 = (a - \sqrt{a^2+1}, 0)$

$B_1,B_2, C_1, C_2$ puede definirse de forma similar.

Cualquier círculo que intersecte $A_1, A_2$ se encuentra en la línea $x = a$

El círculo a través de $A_1,A_2$ y $R$ se centra en $(a,a_y)$

Y el radio de $(a,a_y)$ a $(r_x,r_y)$ es equidistante a $A_1$

$(a-r_x)^2 + (a_y-r_y)^2 = a^2+1 + a_y^2\\ -2r_xa + 2r_ya_y + r_x^2 + r_y^2 - 1 = 0$

Los centros de los tres círculos atraviesan $(A_1RA_2),(B_1RB_2),(C_1RC_2)$ todo está en juego $-2r_x x + 2r_y y + (r_x^2 + r_y^2 - 1) = 0$

Si los centros de estos tres círculos se encuentran en esta línea, entonces esta línea es la bisectriz de $RS.$